数学电子教案 专题21 与圆有关的位置关系 题型预测与圆有关的位置关系是圆的三大块之一 直线与圆的位置关系常常以解答题的形式出现 受课程标准的制约 这部分考题一般不难 点在圆外 点在 点在圆内 相离 相切 相交 圆上 内含 内切 相交 外切 外离 一个 半径 垂直 半径 垂直于 切点 圆心 线段的长度 两条 切线长 两条切线的夹角 垂直 等于 考点1相交 相切 相离 考查频率 命题方向 1 给出圆的半径和圆心到直线的距离 判定直线与圆的位置关系 2 需要分类讨论直线与圆的位置解决问题 1 2013山东青岛 直线l与半径为r的 O相交 且点O到直线l的距离为6 则r的取值范围是 A r 6B r 6C r 6D r 62 2013江苏常州 已知 O的半径是6 点O到直线l的距离为5 则直线l与 O的位置关系是 A 相离B 相切C 相交D 无法判断 C C C 3 2013福建泉州 如图 直线分别与x y轴交于点B C 点A 2 0 P是直线BC上的动点 1 求 ABC的大小 2 求点P的坐标 使 APO 30 3 在坐标平面内 平移直线BC 试探索 当BC在不同位置时 使 APO 30 的点P的个数是否保持不变 若不变 指出点P的个数有几个 若改变 指出点P的个数情况 并简要说明理由 考点2切线的定义及性质 考查频率 命题方向 1 运用 过切点的半径与切线互相垂直 得到90 的角 2 利用弦切角证明角度相等问题 4 2013山东枣庄 如图 已知线段OA交 O于点B 且OB AB 点P是 O上的一个动点 那么 OAP的最大值是 A 30 B 45 C 60 D 90 5 2013湖南永州 如图 已知 ABC内接于 O BC是 O的直径 MN与 O相切 切点为A 若 MAB 30 则 B 度 A 60 考点3切线的判定 考查频率 命题方向 判定直线与圆是否相切 6 2013四川凉山州 在同一平面直角坐标系中有5个点 A 1 1 B 3 1 C 3 1 D 2 2 E 0 3 1 画出 ABC的外接圆 P 并指出点D与 P的位置关系 2 若直线l经过点D 2 2 E 0 3 判断直线l与 P的位置关系 考点4圆与圆的位置关系 考查频率 命题方向 由两圆和圆心距判定两圆的位置关系 7 2013四川凉山州 已知 O1和 O2的半径分别为2cm和3cm 圆心距O1O2为5cm 则 O1和 O2的位置关系是 A 外离B 外切C 相交D 内切8 2013山东烟台 如图 已知 O1的半径为1cm O2的半径为2cm 将 O1 O2放置在直线l上 如果 O1在直线l上任意滚动 那么圆心距O1O2的长不可能是 A 6cmB 3cmC 2cmD 0 5cm B D 9 2013江苏泰州 如图 O的半径为4cm 直线l与 O相交于A B两点 AB cm P为直线l上一动点 以1cm为半径的 P与 O没有公共点 设PO dcm 则d的范围是 10 2013贵州省六盘水 若 A和 B相切 它们的半径分别为8cm和2cm 则圆心距AB为 2 d 3或d 5 10或6 考点5方案设计问题 考查频率 命题方向 与圆有关的方案设计问题 11 2013四川广安 雅安芦山发生7 0级地震后 某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片 从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具 寄给灾区的小朋友 已知如图10 是腰长为4的等腰Rt ABC 要求剪出的半圆的直径在 ABC的边上 且半圆的弧与 ABC的其他两边相切 请作出所有不同方案的示意图 并求出相应半圆的半径 结果保留根号 例1 2013浙江湖州 如图 已知P是 O外一点 PO交 O于点C OC CP 2 弦AB OC 劣弧AB的度数为120 连结PB 1 求BC的长 2 求证 PB是 O的切线 解题思路 1 由弦AB OC 劣弧AB的度数为120 劣弧CB的度数为60 故连接OB 可得 COB 60 于是可证得 OBC是等边三角形 从而求得BC的长 解 1 连接OB 弦AB OC 劣弧AB的度数为120 COB 60 又 OC OB OBC是正三角形 BC OC 2 2 证明 BC CP CBP CPB OBC是正三角形 OBC OCB 60 CBP 30 OBP CBP OBC 90 OB BP 点B在 O上 PB是 O的切线 解题思路 2 由OC CP 2 OBC是等边三角形 可得BC CP 于是 P CBP 再由等边三角形的性质得 OBC 60 CBP 30 因而OB BP 所以PB是 O的切线 思维模式 本题第一问由弧的度数运用垂径定理等知识转化得到了圆心角度数 从而可利用等边三角形来线段长度 充分体现了数形结合思想的应用 第二问借助切线判定中 连半径证垂直 的思路 充分利用了等边三角形和等腰三角形性质得到直角 从而证得结论 必知点 切线的判定方法 过圆的半径外端作半径的垂线 此垂线即圆的切线 简记为 连半径 证垂直 过圆心作某一条直线的垂线 若垂线段等于半径长 则该直线是圆的切线 简记为 作垂线 证相等 利用切线长定理的逆命题证明 若PA是圆的切线 A是切点 B是圆上的另一点 且PA PB 则PB是圆的切线 解题思路 1 连接OD 直线PD垂直平分 O的半径OA于点B且 O的半径为8得出OB 4 OD 8 利用勾股定理求BD 再根据垂径定理知 CD 2BD可求CD 解题思路 2 要证明PE PF 只需证明 PEF PFE即可 利用等角的余角相等可证明 PEF PFE 2 PE是 O的切线 PEO 90 PEF 90 AEO PFE AFB 90 A OE OA A AEO PEF PFE PE PF 思维模式 1 在圆中 已知半径 弦心距 弦长中的两个量求第三个量用勾股定理来求 2 证明线段相等的方法很多 例如利用全等三角形 等腰三角形的判定以及利用相似三角形等 本题是利用 等角对等边 来证明线段相等的 3 利用锐角三角函数求线段长 通常是用转化的方法 把利用已知角的三角函数代换与之相等角的三角函数 例3 2013湖北随州 如图 O是 ABC的外接圆 AB为直径 BAC的平分线交 O于点D 过点D的切线分别交AB AC的延长线于点E F 1 求证 AF EF 2 小强同学通过探究发现 AF CF AB 请你帮忙小强同学证明这一结论 解题思路 1 证OD EF OD AF 2 构造等腰三角形ABG 证CF GF 1 连接OD 则OD EF OA OD OAD ODA OAD DAC DAC ODA OD AF AF EF 2 延长BD CF交于点G 连接CD BD AB为直径 ADB 90 AD平分 BAC AB AG CD DB GD DB CD GD AF EF CF GF AF CF AB 方法规律 1 过切点连半径是圆中添加辅助线时常见的一种 2 AD既是 BAC的平分线 又是三角形ADB的高线 联想到等腰三角形的 三线合一 性质 由此构造等腰三角形 例1 在Rt ABC中 C 90 AC 3 BC 4 若以C为圆心 R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点 求R的值 易错点睛 当 C与AB相切时 只有一个交点 同时要注意AB是线段 当圆的半径R在一定范围内时 AB与 C相交且只有一个公共点 例2 已知 O1和 O2相切 两圆的圆心距为9cm O1的半径为4cm 则 O2的半径为 A 5cmB 13cmC 9cm或13cmD 5cm或13cm 易错点睛 题目没有画图 在圆中 两圆相切要考虑两种情况 外切 内切 外切时 d R r 内切时 d R r 本题容易考虑问题不全面