初中数学辅助线的添加浅谈 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的 当问题的条件 不够时 添加辅助线构成新图形 形成新关系 使分散的条件集中 建立 已知与未知的桥梁 把问题转化为自己能解决的问题 这是解决问题常用 的策略 一 添辅助线有二种情况 1 按定义添辅助线 如证明二直线垂直可延长使它们 相交后证交角为 90 证 线段倍半关 系可倍线段取中点或半线段加倍 证角的倍半关系也可类似添辅助线 2 按基本图形添辅助线 每个几何定理都有与它相对应的几何图形 我们 把它叫做基本图形 添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图 形 因此 添线 应该叫做 补图 这样可防止乱添线 添辅助线也有 规律可循 举例如下 1 平行线是个基本图形 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等 第三条直线 2 等腰三角形是个简单的基本图形 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角 形 出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三 角形 3 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线 出现角平分线与垂线 组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形 4 直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线 出现线段倍半关 系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三 角形斜边上中线基本图形 5 三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明 当有中点没有中位线时则添中位线 当有中位线三角形不完整时则需补完 整三角形 当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点 则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形 当出现线段倍 半关系且与半线段的端点是某线段的中点 则可过带中点线段的端点添半 线段的平行线得三角形中位线基本图形 6 全等三角形 全等三角形有轴对称形 中心对称形 旋转形与平移形等 如果出现 两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形 全等三角形 或添对称轴 或将三角形沿对称轴翻转 当几何问题中出现 一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形 全等三角形加以证明 添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行 线 7 相似三角形 相似三角形有平行线型 带平行线的相似三角形 相交线型 旋转 型 当出现相比线段重叠在一直线上时 中点可看成比为1 可添加平行线 得平行线型相似三角形 若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段 为平行方向 这类题目中往往有多种浅线方法 8 特殊角直角三角形 当出现 30 45 60 135 150 度特殊角时 可添加特殊角直角三角形 利用 45 角直角三角形三边比为 1 1 2 30 度角直角三角形三边比为1 2 3 进行 证明 9 半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点 添90 度的 圆周角 出现90 度的 圆周角则添 它所对弦 直径 平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有 一砧 瓦 水泥 石灰 木等组成一样 二 基本图形的辅助线的画法 1 三角形问题添加辅助线方法 方法 1 有关三角形中线的题目 常将中线加倍 含有中点的题目 常常利 用三角形的中位线 通过这种方法 把要证的结论恰当的转移 很容易地解决了 问题 方法 2 含有平分线的题目 常以角平分线为对称轴 利用角平分线的性质 和题中的条件 构造出全等三角形 从而利用全等三角形的知识解决问题 方法 3 结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形 或利用关于 平分线段的一些定理 方法 4 结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目 常采 用截长法或补短法 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分 证其中的一部分 等于第一条线段 而另一部分等于第二条线段 2 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 的两组对边 对角和对角线都具有 某些相同性质 所以在添辅助线方法上也有共同之处 目的都是造就线段的平行 垂直 构成三角形的全等 相似 把平行四边形问题转化成常见的三角形 正方 形等问题处理 其常用方法有下列几种 举例简解如下 1 连对角线或平移对角线 2 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 3 连接对角线交点与一边中点 或过对角线交点作一边的平行线 构造 线段平行或中位线 4 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段 构造三角形相似或等 积三角形 5 过顶点作对角线的垂线 构成线段平行或三角形全等 3 梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形 它是平行四边形 三角形知识的综合 通过添加 适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决 辅助线的 添加成为问题解决的桥梁 梯形中常用到的辅助线有 1 在梯形内部平移一腰 2 梯形外平移一腰 3 梯形内平移两腰 4 延长两腰 5 过梯形上底的两端点向下底作高 6 平移对角线 7 连接梯形一顶点及一腰的中点 8 过一腰的中点作另一腰的平行线 9 作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中 添加的辅助线并不一定是固定不变的 单 一的 通过辅助线这座桥梁 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来 解决 这是解决问题的关键 4 圆中常用辅助线的添法 在平面几何中 解决与圆有关的问题时 常常需要添加适当的辅助线 架起 题设和结论间的桥梁 从而使问题化难为易 顺其自然地得到解决 因此 灵活 掌握作辅助线的一般规律和常见方法 对提高学生分析问题和解决问题的能力是 大有帮助的 1 见弦作弦心距 有关弦的问题 常作其弦心距 有时还须作出相应的半径 通过垂径平分 定理 来沟通题设与结论间的联系 2 见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径 一般是作直径所对的圆周角 利用 直径所对的 圆周角是直角 这一特征来证明问题 3 见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线 往往是连结过切点的半径 利用 切线与半径 垂直 这一性质来证明问题 4 两圆相切作公切线 对两圆相切的问题 一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线 通 过公切线可以找到与圆有关的角的关系 5 两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题 通常是作出公共弦 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来 又可以 把两圆中的圆周角或圆心角联系起来 作辅助线的方法 一 中点 中位线 延线 平行线 如遇条件中有中点 中线 中位线等 那么过中点 延长中线或中位线作辅助线 使延 长的某一段等于中线或中位线 另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线 以达到应 用某个定理或造成全等的目的 二 垂线 分角线 翻转全等连 如遇条件中 有垂线或角的平分线 可以把图形按轴对称的方法 并借助其他条件 而 旋转 180 度 得到全等形 这时辅助线的做法就会应运而生 其对称轴往往是垂线或角的 平分线 三 边边若相等 旋转做实验 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 有时边角互相配合 然后把图形旋转一定 的角度 就可以得到全等形 这时辅助线的做法仍会应运而生 其对称中心 因题而异 有 时没有中心 故可分 有心 和 无心 旋转两种 四 造角 平 相似 和 差 积 商见 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 欲证线段或角的和差积商 往往与相似形 有关 在制造两个三角形相似时 一般地 有两种方法 第一 造一个辅助角等于已知角 第二 是把三角形中的某一线段进行平移 故作歌诀 造角 平 相似 和差积商见 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表 五 两圆若相交 连心公共弦 如果条件中出现两圆相交 那么辅助线往往是连心线或公共弦 六 两圆相切 离 连心 公切线 如条件中出现两圆相切 外切 内切 或相离 内含 外离 那么 辅助线往往是连 心线或内外公切线 七 切线连直径 直角与半圆 如果条件中出现圆的切线 那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角 相反 条件 中是圆的直径 半径 那么辅助线是过直径 或半径 端点的切线 即切线与直径互为辅助 线 如果条件中有直角三角形 那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆 或半圆 相反 条件中有半圆 那么在直径上找圆周角 直角为辅助线 即直角与半圆互为辅助线 八 弧 弦 弦心距 平行 等距 弦 如遇弧 则弧上的弦是辅助线 如遇弦 则弦心距为辅助线 如遇平行线 则平行线间的距离相等 距离为辅助线 反之 亦成立 如遇平行弦 则平行线间的距离相等 所夹的弦亦相等 距离和所夹的弦都可视为辅助 线 反之 亦成立 有时 圆周角 弦切角 圆心角 圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线 九 面积找底高 多边变三边 如遇求面积 在条件和结论中出现线段的平方 乘积 仍可视为求面积 往往作底或 高为辅助线 而两三角形的等底或等高是思考的关键 如遇多边形 想法割补成三角形 反之 亦成立 另外 我国明清数学家用面积证明勾股定理 其辅助线的做法 即 割补 有二百多种 大多数为 面积找底高 多边变三边 三角形中作辅助线的常用方法举例 一 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 若直接证不出来 可连接两点 或延长某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三 角形三边的不等关系证明 如 例 1 已知如图1 1 D E 为 ABC内两点 求证 AB AC BD DE CE 证明 法一 将 DE两边延长分别交AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 如图 1 2 延长 BD交 AC 于 F 延长 CE交 BF于 G 在 ABF和 GFC和 GDE中有 AB AF BD DG GF 三角形两边之和大于第三边 1 GF FC GE CE 同上 2 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时 可连 接两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上 小角处于这个三角形的内角位置上 再利用外角定理 A BC DE N M 11图 A B C DE F G 21图 例如 如图2 1 已知 D为 ABC内的任一点 求证 BDC BAC 分析 因为 BDC与 BAC不在同一个三角形中 没有直接的联系 可适当添加辅助线构造新的三角形 使 BDC处于在外角的位置 BAC处于在内角的位置 证法一 延长 BD交 AC于点 E 这时 BDC是 EDC的外角 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 证法二 连接AD 并延长交BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 注意 利用三角形外角定理证明不等关系时 通常将大角放在某三角形的外角位置上 小 角放在这个三角形的内角位置上 再利用不等式性质证明 三 有角平分线时 通常在角的两边截取相等的线段 构 造全等三角形 如 例如 如图3 1 已知 AD为 ABC的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 分析 要证BE CF EF 可利用三角形三边关系定理证明 须 把 BE CF EF 移到同一个三角形中 而由已知 1 2 3 4 可在角的两边截取相等的线段 利用三角形全等对应边相 等 把 EN FN EF移到同一个三角形中 证明 在 DA上截取 DN DB 连接 NE NF 则 DN DC 在 DBE和 DNE中 21 公共边 已知 辅助线的作法 EDED DBDN DBE DNE SAS BE NE 全等三角形对应边相等 同理可得 CF NF 在 EFN中 EN FN EF 三角形两边之和大于第三边 BE CF EF A BC D E F G 1