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第一章习题习题1.1 在英文字母中E出现的概率最大,等于0.105,试求其信息量。解:E的信息量:习题1.2 某信息源由A,B,C,D四个符号组成,设每个符号独立出现,其出现的概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。解:习题1.3 某信息源由A,B,C,D四个符号组成,这些符号分别用二进制码组00,01,10,11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输,试分别求出在下列条件下的平均信息速率。(1) 这四个符号等概率出现; (2)这四个符号出现概率如习题1.2所示。解:(1)一个字母对应两个二进制脉冲,属于四进制符号,故一个字母的持续时间为25ms。传送字母的符号速率为等概时的平均信息速率为 (2)平均信息量为则平均信息速率为 习题1.4 试问上题中的码元速率是多少?解:习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成,其中16个符号的出现概率均为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个独立的符号,试求该信息源的平均信息速率。解:该信息源的熵为 =5.79比特/符号因此,该信息源的平均信息速率 。习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号,其码元宽度为125 us。试求码元速率和信息速率。解:等概时,习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆,输入电路的带宽为6 MHZ,环境温度为23摄氏度,试求该电路产生的热噪声电压的有效值。解:习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信,其收发天线的架设高度都等于80 m,试求其最远的通信距离。解:由,得 习题1.9 设英文字母E出现的概率为 0.105, x出现的概率为0.002 。试求 E和x的信息量。 解: 习题1.10 信息源的符号集由 A,B,C,D 和E 组成,设每一符号独立1/4出现,其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。解:习题1.11 设有四个消息A、B、C、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送,每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。 解:习题1.12一个由字母A,B,C,D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码,00 代替 A,01 代替 B,10 代替 C,11 代替D。每个脉冲宽度为5ms。(1) 不同的字母是等概率出现时,试计算传输的平均信息速率。 (2) 若每个字母出现的概率为,试计算传输的平均信息速率。 解:首先计算平均信息量。(1)平均信息速率=2(bit/字母)/(2*5m s/字母)=200bit/s(2) 平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母,划用持续3单位的电流脉冲表示,点用持续 1 单位的电流脉冲表示,且划出现的概率是点出现的概率的1/3。(1) 计算点和划的信息量; (2) 计算点和划的平均信息量。 解:令点出现的概率为,划出现的频率为+=1, (1) (2)习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概率为1/32,其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号,且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。解: 平均信息速率为 。习题1.15 对于二电平数字信号,每秒钟传输 300个码元,问此传码率等于多少?若数字信号0和1出现是独立等概的,那么传信率等于多少? 解: 习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息,则传送 1 小时的信息量为多少?传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少? 解:传送 1 小时的信息量 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵: 号则传送 1 小时可能达到的最大信息量 习题1.17如果二进独立等概信号,码元宽度为0.5ms,求和;有四进信号,码元宽度为0.5ms,求传码率 和独立等概时的传信率 。 解:二进独立等概信号:四进独立等概信号:。小结: 记住各个量的单位:信息量: bit 信源符号的平均信息量(熵): bit/符号 平均信息速率:符号)/ (s/符号)传码率: (B)传信率: bit/s第二章习题习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成:式中,是一个离散随机变量,它具有如下概率分布:P(=0)=0.5,P(=/2)=0.5试求EX(t)和。解:EX(t)=P(=0)2+P(= /2)习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成:判断它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。解:为功率信号。习题2.3 设有一信号可表示为:试问它是功率信号还是能量信号?并求出其功率谱密度或能量谱密度。解:它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为:则能量谱密度 G(f)= 习题2.4 X(t)=,它是一个随机过程,其中和是相互统计独立的高斯随机变量,数学期望均为0,方差均为。试求:(1)EX(t),E;(2)X(t) 的概率分布密度;(3) 解:(1)因为相互独立,所以。又因为,所以。故 (2)因为服从高斯分布,的线性组合,所以也服从高斯分布,其概率分布函数。(3)习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件:(1); (2); (3)解:根据功率谱密度P(f)的性质:P(f),非负性;P(-f)=P(f) ,偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件,(2)不满足。习题2.6 试求X(t)=A的自相关函数,并根据其自相关函数求出其功率。解:R(t,t+)=EX(t)X(t+) =功率P=R(0)= 习题2.7 设和是两个统计独立的平稳随机过程,其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。解:RX(t,t+)=EX(t)X(t+)=E=习题2.8 设随机过程X(t)=m(t),其中m(t)是广义平稳随机过程,且其自相关函数为(1)试画出自相关函数的曲线;(2)试求出X(t)的功率谱密度和功率P。解:(1)?101其波形如图2-1所示。图2-1信号波形图(2)因为广义平稳,所以其功率谱密度。由图2-8可见,的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积,因此习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。试求此信号的自相关函数RX。解:x(t)的能量谱密度为G(f)=其自相关函数习题2.10 已知噪声的自相关函数,k为常数。(1)试求其功率谱密度函数和功率P;(2)画出和的曲线。解:(1)0(2)和的曲线如图2-2所示。10图2-2习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。解:详见例2-12习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为试求其平均功率。解: 习题2.13 设输入信号 ,将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器(见图2-3)上,RC。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。解:高通滤波器的系统函数为 H(f)=CR图2-3RC 高通滤波器输入信号的傅里叶变换为X(f)=输出信号y(t)的能量谱密度为习题2.14 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端,得到的输出信号为y(t)=式中,为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).解:输出信号的傅里叶变换为Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时,试求输出功率谱密度和自相关函数。解:参考例2-10习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时,试求LC图2-4LC低通滤波器(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解:(1)LC低通滤波器的系统函数为 H(f)=输出过程的功率谱密度为对功率谱密度做傅立叶反变换,可得自相关函数为(2) 输出亦是高斯过程,因此习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声,当输入一个均值为0、双边功率谱密度为 的白噪声时,试求输出噪声的概率密度。解:高斯白噪声通过低通滤波器,输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t)=0 , 所以输出噪声的概率密度函数习题2.18设随机过程可表示成,式中是一个离散随变量,且,试求及。解:习题2.19设是一随机过程,若和是彼此独立且具有均值为 0、方差为的正态随机变量,试求:(1)、;(2)的一维分布密度函数;(3)和。解:(1) 因为和是彼此独立的正态随机变量,和是彼此互不相关,所以又; 同理代入可得 (2)由=0; 又因为是高斯分布可得 (3) 令 习题2.20求乘积的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程,且它们的自相关函数分别为、。 解:因与是统计独立,故 习题2.21若随机过程,其中是宽平稳随机过程,且自相关函数为 是服从均匀分布的随机变量,它与彼此统计独立。(1) 证明是宽平稳的;(2) 绘出自相关函数的波形; (3) 求功率谱密度及功率S 。解:(1)是宽平稳的为常数;只与有关:令所以只与有关,证毕。(2)波形略;而的波形为 可以对求两次导数,再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。功率S:习题2.22已知噪声的自相关函数,a为常数: 求和S;解:因为 所以 习题2.23是一个平稳随机过程,它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间(-1,1)上,该自相关函数。试求的功率谱密度 。解:见第2. 4 题 因为 所以据付氏变换的性质可得而故习题2.24将一个均值为 0,功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上,如图(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数; (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。解:(1)因为,故又由 付氏变换的性质 可得(2);所以又因为输出噪声分布为高斯分布可得输出噪声分布函数为习题2.25设有RC低通滤波器,求当输入均值为 0,功率谱密度为的白噪声时,输出过程的功率谱密度和自相关函数。解:(1) (2) 因为所以习题2.26将均值为0,功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端,(1) 求输出噪声的自相关函数; (2) 求输出噪声的方差。解:(1) (2) ;习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形,它的每个脉冲的持续时为,脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关,且过程具有宽平稳性,试证:(1) 自相关函数(2) 功率谱密度。解:
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