2019-2020学年天津市部分区高二上学期期中考试数学试题一、单选题1设，使不等式成立的x的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由一元二次不等式的解法可解得x的取值范围为.【详解】由可得：，解得，故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题.2已知椭圆长轴长为4，焦距为2.则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据椭圆的长轴长为可知.【详解】因为椭圆长轴长为4，所以，解得.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，属于容易题.3若，则“且”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由且可推出，反之不成立，即可得出结论.【详解】若且，则成立，但，推不出且，所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于容易题.4已知数列是等差数列.若，则（ ）A3B5C7D9【答案】C【解析】根据等差数列的等差中项，即可求解.【详解】因为数列是等差数列，所以，即，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质，属于容易题.5若命题“，”是假命题，则实数m的最小值为（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】由“，”是假命题可知“”是真命题，利用判别式求解即可.【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“”是真命题，所以，解得，所以实数m的最小值为1.故选：B【点睛】本题主要考查了命题的否定，不等式恒成立，属于中档题.6已知双曲线的离心率是，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据双曲线的简单几何性质可知，联立即可求解.【详解】因为双曲线的离心率是，所以，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，离心率，属于容易题.7已知等比数列的首项为1，且，则（ ）A2B4C8D16【答案】A【解析】根据等比数列的通项公式及可求出公比，再计算即可.【详解】因为等比数列的首项为1，所以由可得：，解得，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.8已知数列an满足an1ann1(nN)，且a12，则a10( )A54B55C56D57【答案】C【解析】根据数列递推式的特征，利用累加法转化求解即可【详解】数列满足，且，可得，累加可得：，故选：C【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题9已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】由抛物线方程可得焦点，准线方程为，由求出，由此能求出双曲线的方程【详解】因为抛物线，所以焦点，准线方程为因为双曲线的渐近线为，准线为所以，又，所以即，所以双曲线的方程为，故选：D10已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与C交于点B.若，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由可知，,设，可求出B点坐标，代入椭圆方程，化简即可求出离心率.【详解】设，因为，所以，由，可得，解得，代入椭圆方程可得，化简得，即，故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，顶点、焦点坐标，离心率，属于中档题.二、填空题11命题“，”的否定是_.【答案】，【解析】根据含有量词的命题的否定，改变量词，否定结论即可.【详解】由命题“，”知，命题的否定为 “，”故答案为：，【点睛】本题主要考查了命题的否定，属于容易题.12双曲线的渐近线方程是_.【答案】【解析】根据双曲线的方程，令即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线方程，所以，令，可得，即，故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，属于容易题.当双曲线方程为时，只需把换为即可求出渐近线方程.13设等差数列的前n项和为，若，则的最小值为_.【答案】【解析】根据等差数列的求和公式,利用，可求出公差，写出，利用二次函数求解即可.【详解】因为，所以，解得，所以，对称轴为，所以当或时，有最小值，故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，涉及二次函数求最值，属于中档题.14若，且，则的最大值为_.【答案】【解析】由可根据均值不等式求积的最大值.【详解】因为，且所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为，此时，故答案为：【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值，属于中档题.15若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则_.【答案】12【解析】由题意可知抛物线的焦点为双曲线的右焦点，又由双曲线方程可知，求解即可.【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的右焦点为，所以，解得，故答案为：12【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，双曲线的简单几何性质，属于中档题.16下列命题：设A，B为两个集合，则“”是“”的充分不必要条件；，；“”是“”的充要条件；，代数式的值都是质数.其中的真命题是_.（填写序号）【答案】【解析】根据子集概念，“”是“”的充分必要条件；取特殊值，使不等式成立，判断命题为真；根据不等式性质可知，可判断命题正确；由于n2+n+41=n（n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n2+n+41不是质数，可判断命题错误.【详解】对于根据子集及交集的定义可知，所以“”是“”的充分必要条件；存在特殊值，使不等式成立，判断命题为真；根据不等式性质可知，可判断“”是“”的充要条件正确；由于n2+n+41=n（n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n2+n+41分别能被40或41整除，所以不是质数，可判断命题错误.故答案为：【点睛】本题主要考查了命题，充分条件，必要条件，质数的概念，属于中档题.三、解答题17设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）， ；（2）.【解析】（1）由题意列出关于公差和公比的方程组，求解即可得出通项公式（2）根据错位相减法即可求出数列的和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.依题意，得又因为公比大于0，解得故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2）由（1）知，记的前n项和为，则记，则，得，,所以.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.18解关于x的不等式【答案】见解析.【解析】试题分析：解题思路：将分解因式得，再讨论1与的大小求解集.规律总结：解一元二次不等式，要注意“三个二次”的关系，即一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系.注意点：解题中要注意讨论1与的大小.试题解析：，则当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.分类讨论思想.19设数列的前n项和为，且.数列满足：，且.其中.（1）求，的通项公式；（2）记数列满足，证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）根据与的关系，可推出，即数列是公比为2的等比数列，根据知其为等差数列，写出通项公式即可（2）写出，变形为，利用相加相消可求和,即可证明不等式成立.【详解】（1）由 ，可得 ，-得所以数列是公比为2的等比数列，式中令，可得，所以，由易知数列是公差为1的等差数列，又，所以，所以.（2），所以 .【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列、等比数列的定义，通项公式，裂项相消求和，属于难题.20设椭圆的上顶点为A，右顶点为B.已知（O为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设点，直线与椭圆交于两个不同点M，N，直线AM与x轴交于点E，直线AN与x轴交于点F，若.求证：直线l经过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由知，根据，即可求出离心率（2）由结合（1）可求出椭圆方程，设，得出点坐标，联立与椭圆方程，根据韦达定理可得，利用化简可求m，可求出直线所过定点.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，又由，消去b得，解得.所以，椭圆的离心率为；（2）由点知，又所以所以椭圆的方程为，设，则直线AM的方程为，令，得点E的横坐标，所以点，同理，点， 由得，则，所以.所以.解得，此时， 所以直线l经过定点.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，属于难题.