第六讲 立体图形的计算在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下见下图在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积 分析与解答 求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等因此列式为：例2 一个圆柱体底面周长和高相等如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米求这个圆柱体的表面积分析 一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形解题的关键在于求出底周长根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C12.5626.28（厘米）这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了例3 一个正方体形状的木块，棱长为1米若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加112平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决例4 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（62）例5 一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米求这个粮囤的体积是多少立方米？分析 按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，高是（20.2）米这样求出变化后直圆柱的体积就可以了 例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？分析 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度 例7 下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积例8 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析 解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面习题六1一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米求原来钢材的体积和侧面积2在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高3在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）求挖洞后木块的表面积和体积4如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米求这个零件的体积5塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如下页图（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）把这个筒的A面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是2厘米（如下页图（2）问若把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？若把C面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？为4分米、3分米、2分米把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？7如下图是一个正方体，H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点现沿三角形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几？（提示：V棱柱Sh，S为底面积，h为高可见棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一）