第三单元函数 第9讲平面直角坐标系与函数的概念 考点一 考点二 考点三 考点一平面直角坐标系内点的坐标1 有序实数对有顺序的两个数a与b组成的数对 叫做有序实数对 记作 a b 在建立平面直角坐标系后 平面上的点与有序实数对是一一对应 点P a b 到x轴的距离为 b 到y轴的距离为 a 到原点的距离为2 平面直角坐标系为了用有序实数对表示平面内的一个点 可以在平面内画两条互相垂直的数轴 其中一条叫横轴 x轴 另一条叫纵轴 y轴 它们的交点O是这两条数轴的原点 这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系 考点一 考点二 考点三 3 平面直角坐标系中点的坐标 考点一 考点二 考点三 4 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 1 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等 如图中直线PA平行于x轴 直线PA上点的纵坐标相等 如y y1 直线AP上的两点A P之间的距离为 x1 x 2 平行于y轴的直线上的点的横坐标相等 如图中直线PB平行于y轴 直线PB上点的横坐标相等 如x x2 直线BP上的两点B P之间的距离为 y2 y 考点一 考点二 考点三 5 坐标系中的距离公式 1 点P a b 到x轴的距离是 b 2 点P a b 到y轴的距离是 a 补充拓展 1 中点公式 P x1 y1 Q x2 y2 为坐标系中任意两点 则线段PQ 考点一 考点二 考点三 考点二函数及自变量的取值范围1 函数的相关概念 1 变量 取值会发生变化的量称为变量 2 常量 取值固定不变的量称为常量 3 函数 一般地 设在一个变化过程中存在两个变量x y 如果对于x在它允许取值范围内的每一个值 y都有唯一确定的值与它对应 那么就说x是自变量 y是x的函数 4 函数值 如果当x a时 y b 那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 考点一 考点二 考点三 2 自变量的取值范围 考点一 考点二 考点三 考点三函数的表示方法及其图象1 三种表示法列表法 表达式法 图象法 在解决一些与函数有关的问题时 有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数 2 图象的画法概括为列表 描点 连线三步 通常称为描点法 考点一 考点二 考点三 3 图象性质一般地 函数图象上升线表示因变量随自变量取值的增加而增加 下降线表示因变量随自变量取值的增加而减少 水平线表示因变量不随自变量取值的增加而发生变化 上升线倾斜程度越小表示随自变量的增加因变量的取值增加的越慢 上升线倾斜程度越大表示随自变量的增加因变量的取值增加的越快 下降线倾斜程度越小表示随自变量的增加因变量的取值减少的越慢 下降线倾斜程度越大表示随自变量的增加因变量的取值减少的越快 命题点1 命题点2 命题点1函数图象的判别1 2016 安徽 9 4分 一段笔直的公路AC长20千米 途中有一处休息点B AB长15千米 甲 乙两名长跑爱好者同时从点A出发 甲以15千米 时的速度匀速跑至点B 原地休息半小时后 再以10千米 时的速度匀速跑至终点C 乙以12千米 时的速度匀速跑至终点C 下列选项中 能正确反映甲 乙两人出发后2小时内运动路程y 千米 与时间x 时 函数关系的图象是 A 命题点1 命题点2 命题点1 命题点2 解析由题意 甲走了1小时到了B地 在B地休息了半个小时 用2小时正好走到C地 乙走了小时到了C地 在C地休息了小时 由此可知正确的图象是A 故选A 命题点1 命题点2 命题点2点的坐标与图形变换 2 2013 安徽 18 8分 见第二编专题五例5 考法1 考法2 考法3 考法1平面直角坐标系内点的坐标特征 例1 2018 四川攀枝花 若点A a 1 b 2 在第二象限 则点B a 1 b 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限答案 D解析 因为点A a 1 b 2 在第二象限 所以a 10 得a2 从而 a 0 1 b 0 点B a 1 b 在第四象限 故选D 考法1 考法2 考法3 对应练1 2018 山东东营 在平面直角坐标系中 若点P m 2 m 1 在第二象限 则m的取值范围是 C A m2C 1 1 考法1 考法2 考法3 对应练2 2018 浙江金华 小明为画一个零件的轴截面 以该轴截面底边所在的直线为x轴 对称轴为y轴 建立如图所示的平面直角坐标系 若坐标轴的单位长度取1mm 则图中转折点P的坐标表示正确的是 C A 5 30 B 8 10 C 9 10 D 10 10 解析 由图示得 点P的横坐标是9 纵坐标是10 故选C 考法1 考法2 考法3 考法2自变量的取值范围 例2 2018 湖南娄底 函数y 中自变量x的取值范围是 A x 2B x 2C x 2且x 3D x 3答案 C解析 根据二次根式有意义得x 2 0 解得x 2 根据分母不为0得x 3 所以自变量的范围是x 2且x 3 故选C 考法1 考法2 考法3 对应练3 2018 内蒙古包头 函数y 中 自变量x的取值范围是 D A x 1B x 0C x 1D x 1 对应练4 2018 青海 函数y 中自变量x的取值范围是x 2且x 1 解析 根据函数有意义 则分母不能为0 根号下的数必须非负得x 1 0 所以x 1 故选择D 解析 由x 2 0 x 1 0可以确定x的取值范围是x 2且x 1 考法1 考法2 考法3 考法3分析判断函数图象例3 2018 广东 如图 点P是菱形ABCD边上的一动点 它从点A出发沿A B C D路径匀速运动到点D 设 PAD的面积为y P点的运动时间为x 则y关于x的函数图象大致为 答案 B解析 P点在线段AB上 高越来越大 底不变 面积越来越大 P在线段BC上 高不变 底不变 面积不变 P在线段CD上 底不变 高越来越小 面积越来越小 故选B 考法1 考法2 考法3 方法总结此类考题一般根据题目描述 确定函数的函数值在每段函数图象上增减情况或变化的快慢 1 当函数值随自变量增大而增大时图象是呈现上升趋势 反之下降 2 当自变量变大而函数值不变时 对应图象与横轴平行 当自变量不变而函数值变化时 对应图象用铅垂线段表示 考法1 考法2 考法3 对应练5 2018 湖南长沙 小明家 食堂 图书馆在同一条直线上 小明从家去食堂吃早餐 接着去图书馆读报 然后回家 下图反映了这个过程中小明离家的距离y与时间x的对应关系 根据图象 下列说法正确的是 B A 小明吃早餐用了25minB 小明读报用了30minC 食堂到图书馆的距离为0 8kmD 小明从图书馆回家的速度为0 8km min 考法1 考法2 考法3 解析 图中横轴表示小明离家的时间 纵轴表示离家的距离 由图可知 A 吃早餐用的时间为 25 8 min 即17min 故A错误 B 读报用了 58 28 min 即30min 故B正确 C 食堂到图书馆的距离应为 0 8 0 6 km 即0 2km 故C错误 D 从图书馆回家的速度为0 8 10 0 08km min 故D错误 考法1 考法2 考法3 对应练6 2018 湖北随州 龟兔赛跑 这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先 但它因为骄傲在途中睡觉 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛 下列函数图象可以体现这一故事过程的是 B 解析 乌龟匀速爬行 兔子因在比赛中间睡觉 导致开始领先 最后输掉比赛 所以直线表示乌龟 折线段表示兔子 跑到终点兔子用的时间多于乌龟所用的时间 A中 乌龟用时多 不合题意 C中 兔子和乌龟用时相同 不合题意 D中 乌龟虽然用时少 但图象显示比赛一开始 乌龟的速度就大于兔子的速度 不合题意 只有B符合题意 考法1 考法2 考法3 对应练7 2018 四川内江 在物理实验课上 老师用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中 然后匀速向上提起 直到铁块完全露出水面一定高度 则下图能反映弹簧秤的读数y 单位 N 与铁块被提起的高度x 单位 cm 之间的函数关系的大致图象是 C 考法1 考法2 考法3 解析 物体完全在水中时 排开水的体积不变 故此物体完全在水中时 浮力不变 读数y不变 当物体逐渐浮出水面的过程中排开水的体积逐渐变小 浮力逐渐减小 重力变大 读数y变大 当物体保持一定高度不变 排开水的体积不变 故此浮力 重力不变 此时读数y不变 故应选C