1 武威六中武威六中 20182018 20192019 学年度第二次诊断考试学年度第二次诊断考试 数学试卷 文 数学试卷 文 考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 第 卷 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 1 已知 为虚数单位 则复数的虚部为 i 4 1 i z z A B C 2 2 D 2i 2i2 2 2 集合 则 2 20Ax xx 10Bx x AB A B C D 1x x 11xx 2x x 21xx 3 设函数 则 2 41 0 log 0 x x f x x x 1 2 f A 1 B 1 C 1 2 D 2 2 4 设与均为锐角 且 则的值为 1 cos 7 5 3 sin 14 cos A B C 或 D 或 71 98 1 2 71 98 1 2 71 98 59 98 5 函数的图象大致为 2 1 x x f x e y x 2 1 1 2 3 3 2 1123 4 O y x 2 1 1 2 3 2 11234 3 O y x 2 1 1 2 3 2 11234 3 O y x 2 1 1 2 3 2 11234 3 O A B C D 6 两个单位向量 的夹角为 则 ab120 2 ab A B C D 2323 2 7 按照程序框图 如图所示 执行 第个输出的数是 3 开始 输出A 结束 是 否 1A 1S 5 S 2AA 1SS A B C D 6543 8 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90 后从事互联网行业者岗位分布条形图 则下列结论中不一定正确的是 注 90 后指 1990 年及以后出生 80 后指 1980 1989 年之间出生 80 前指 1979 年及以前 出生 A 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20 C 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 9 有一个底面圆的半径为 1 高为 2 的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱内随 机取一点P 则点P到点O的距离大于 1 的概率为 A B C D 4 3 3 2 3 1 4 1 10 函数的图像如图所示 则 s si in n 0 0 0 0 f f x xA Ax xA A 的值等于 1 12 23 31 18 8f ff ff ff f 3 A B C D 1 2 2 2 2 2 22 22 2 11 设双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F O为坐标原点 若双曲线 上存在点M满足 12 22MFMOMF 则双曲线的离心率为 A 6 B 3 C 6 D 3 12 定义域为 R R 的可导函数的导函数 满足 且 则 xfy xf xfxf 2 xf 不等式的解集为 x exf2 A 0 B 2 C 0 D 2 第 卷 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 函数的最大值为 xxxfsin5 2 2 sin 14 已知数列的前项和 若 则 n an 0 n n Sqq q 2 2a 5 a 15 设满足约束条件 则的取值范围为 xy 0 0 10 30 x y xy xy 2zxy 16 在正方体中 下面结论中正确的有 写出所有正确命题的序号 1111 ABCDABC D 平面 平面 BD 11 CB D 1 AC 11 CB D 异面直线与成角 与底面所成角的正切值是 AC 1 AB60 1 AC ABCD2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 已知等差数列满足 的前项和为 n a 3 7a 57 26aa n an n S 1 求及 n a n S 2 令 求数列的前项和 2 1 1 n n bn a N n bn n T 18 本小题满分 12 分 2018 年为我国改革开放 40 周年 某事业单位共有职工 600 人 其年龄与人数分布表如下 4 年龄段 人数 单位 人 180 180 160 80 约定 此单位45岁59岁为中年人 其余为青年人 现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚 会的观众 1 抽出的青年观众与中年观众分别为多少人 2 若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有 12 人和 5 人不热衷关心民生大事 其余人热衷 关心民生大事 完成下列 2 2 列联表 并回答能否有 90 的把握认为年龄层与热衷关心民生大 事有关 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计 30 3 若从热衷关心民生大事的青年观众 其中 1 人擅长歌舞 3 人擅长乐器 中 随机抽取 2 人上 台表演节目 则抽出的 2 人能胜任的 2 人能胜任才艺表演的概率是多少 附参考数据与参考公式 0 2 kKP 0 100 0 050 0 025 0 010 0 001 0 k 2 706 3 841 5 024 6 635 10 828 2 2 dbcadcba bcadn K 19 本小题满分 12 分 已知椭圆的离心率为 点在椭圆上 22 22 10 xy Cab ab 3 2 2 1MC 1 求椭圆的方程 C 2 直线 平行于为 坐标原点 且与椭圆交于 两个不同的点 若lOMOCABAOB 为钝角 求直线 在轴上的截距的取值范围 lym 20 本小题满分 12 分 5 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD PA 2 ABC 90 AB BC 1 AD 332 ACD 60 E为CD的中点 1 求证 BC 平面PAE 2 求点A到平面PCD的距离 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln 2 1 2 Rmxmxxf 1 当m 2 时 求函数在 1 e 上的最大 最小值 xf 2 若函数在上单调递增 求实数m的取值范围 xf 2 1 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中 椭圆的方程为 以为极点 轴非负半轴为xOyC 22 1 164 yx Ox 极轴 取相同的长度单位建立极坐标系 直线 的极坐标方程为 lsin3 3 1 求直线 的直角坐标方程和椭圆的参数方程 lC 2 设为椭圆上任意一点 求点到直线 的距离的最小值 M x yCMl 6 武威六中 2018 2019 学年度第二次诊断考试参考答案 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D C A B C D B D B C C C 二 填空题 共 4 小题 每小题 5 分 13 4 14 16 15 1 6 16 三 解答题 三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 共共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 1 设等差数列 n a 的公差为d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 1 3a 2d 所以 32121 n ann 2 1 322 2 n n n Snnn 6 分 2 由 1 知21 n an 所以 22 1111111 14141 211 n n b an nnn n 所以 11111111 11 422314141 n n T nnnn L 即 41 n n T n 12 分 18 解析 1 抽出的青年观众为 18 人 中年观众 12 人 2 2 2 列联表如下 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 12 18 中年 7 5 12 7 总计 13 17 30 没有 90 的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关 3 热衷关心民生大事的青年观众有 6 人 记能胜任才艺表演的四人为 其余两人记 为 则从中选两人 一共有如下 15 种情况 抽出的 2 人都能胜任才艺表演的有 6 种情况 所以 19 1 因为椭圆的离心率为 3 2 点 2 1M在椭圆C上 所以 22 222 3 2 41 1 c e a ab abc 解得2 2a 2b 6c 故椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy 5 分 2 由直线l平行于OM得直线l的斜率为 1 2 OM kk 又l在y轴上的截距m 故l的方程为 1 2 yxm 由 22 1 2 1 82 yxm xy 得 22 2240 xmxm 又直线与椭圆C交于A B两个不同的点 设 11 A xy 22 B xy 则 12 2xxm 2 12 24x xm 所以 2 2 24 240mm 于是22m 8 分 AOB 为钝角等价于0OA OB 且0m 8 则 2 121212121212 115 0 2242 m OA OBx xy yx xxmxmx xxxm 10 分 即 2 2m 又0m 所以m的取值范围为 2 002 12 分 20 1 AB BC 1 ABC 90 AC 2 BCA 60 在 ACD中 AD 2 AC 2 ACD 60 AD2 AC2 CD2 2AC CD cos ACD CD 4 AC2 AD2 CD2 ACD是直角三角形 又E为CD中点 AE CD CE ACD 60 ACE为等边三角形 CAE 60 BCA BC AE 又AE 平面PAE BC 平面PAE BC 平面PAE 2 设点A到平面PCD的距离为d 根据题意可得 PC 2 PD CD 4 S PCD 2 VP ACD VA PCD S ACD PA S PCD d 2 2 2 2d d 点A到平面PCD的距离为 21 1 当m 2 时 f x x 令f x 0 得x 当x 1 时 f x 0 故x 是函数f x 在 1 e 上的唯一极小值点 故f x min f 1 ln 2 又f 1 f e e2 2 故f x max 9 2 f x x x 0 若函数f x 在 上单调递增 则f x 0 在 上恒成立 即m x2在 上恒成立 即m 所以实数m的取值范围为 22 1 由sin3 3 得 13 sincos3 22 将cosx siny 代入 得直线l的直角坐标方程为 360 xy 3 分 椭圆C的参数方程为 2cos 4sin x y 为参数 5 分 2 因为点M在椭圆C上 所以设 2cos 4sin M 设点M到直线l的距离为d 则 2 6 sin 72 13 6sin4cos32 d 当且仅当1 sin 时 73 min d 10 分