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第2讲 事件的概率 1 能通过列表 画树状图等方法列出简单随机事件所有可 能的结果 以及指定事件发生的所有可能结果 了解事件的概 率 2 知道大量的重复试验 可以用频率来估计概率 知识点内容 概 率 概念表示一个事件发生的可能性大小的数 公式 用频率可以 估计概率 知识点内容 事 件 的 类 型 确定性事件 必然事件 概率为 1 或 0 不可能事件 不确定性事 件 随机事件 概率为 0 P A 1 随机事件概 率的计算 1 一步完成 直接列举法 2 两步完成 列表法 画树状图法 3 两步以上 画树状图法 续表 事件的可能性及概率的意义 1 2016 年四川攀枝花 下列说法中正确的是 A 打开电视 正在播放 新闻联播 是必然事件 B x2 0 x是实数 是随机事件 C 掷一枚质地均匀的硬币 10 次 可能有 5 次正面向上 D 为了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况 宜采用普查 方式调查 答案 C 2 2016 年湖北武汉 不透明的袋子中装有形状 大小 质 地完全相同的 6 个球 其中 4 个黑球 2 个白球 从袋子中一 次摸出 3 个球 下列事件是不可能事件的是 A 摸出的是 3 个白球 B 摸出的是 3 个黑球 C 摸出的是 2 个白球 1 个黑球 D 摸出的是 2 个黑球 1 个白球 答案 A 易错陷阱 大量反复试验下频率稳定值为该事件的概率 注 意随机事件发生的概率在0 和1 之间 而不是一种必然的结果 利用公式求概率 例 1 在一个不透明的袋中装有 2 个黄球 3 个黑球和 5 个 红球 它们除颜色外其他都相同 1 将袋中的球摇均匀后 求从袋中随机摸出一个球是黄球 的概率 2 现在再将若干个红球放入袋中 与原来的 10 个球均匀 出后来放入袋中的红球的个数 思路分析 1 用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概 率 2 根据概率公式列出方程求得红球的个数即可 x 5 故后来放入袋中的红球有 5 个 思想方法 本题运用了方程思想解决实际问题 从分析问 题的数量关系入手 设定未知数 把所研究的数学问题中已知 量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型 从而使问题得到解决的思维方法 这就是方程思想 试题精选 3 2015 年山东泰安 如图 6 2 1 在方格纸中 随机选择标 有序号 中的一个小正方形涂黑 与图中阴影部分构 成轴对称图形的概率是 图 6 2 1 答案 C 4 2016 年山东东营 东营市某学校组织知识竞赛 共设有 20 道试题 其中有关中国优秀传统文化试题 10 道 实践应用 试题 6 道 创新能力试题 4 道 小捷从中任选 1 道试题作答 他 选中创新能力试题的概率是 答案 A 5 2016 年黑龙江齐齐哈尔 下列算式 答案 B 名师点评 1 概率的求法先找准两点 全部情况的总数 符合条件的情况数目 二者的比值就是其发生的概率 2 求几何概率的方法 先利用几何性质求出整个几何图形 的面积 n 再计算出其中某个区域的几何图形的面积m 然后 利用列表或树状图求概率 例 2 2014 年广东佛山 一个不透明的袋里有两个白球和 三个红球 它们除颜色外其他都一样 1 求 从袋中任意摸出一个球 摸出的一个球是白球 的 概率 2 直接写出 从袋中同时任意摸出两个球 摸出的两个球 都是红球 的概率 思路分析 1 用白球数除以总球数即可 2 可列表格求出总结果数 及摸出的两个球都是红球的结 果数 再利用概率公式计算 项目白白红红红 白 白 白 红 白 红 白 红 白 白 白 白 红 白 红 白 红 白 红 白 红 白 红 红 红 红 红 红 白 红 白 红 红 红 红 红 红 白 红 白 红 红 红 红 红 解 1 从袋中任意摸出一个球 有五种等可能的结果 其 中有两种是白球 2 列表如下 所有等可能的情况有20 种 其中两次摸出的球都是红球的 情况有6 种 则P 从球中同时任意摸出两个球 摸出的两个球都是红球 试题精选 6 2016 年内蒙古包头 同时抛掷 3 枚质地均匀的硬币 至 少有两枚硬币正面向上的概率是 答案 D 7 2016 年湖北荆门 荆楚学校为了解九年级学生 一分钟 内跳绳次数 的情况 随机选取了 3 名女生和 2 名男生 则从 这 5 名学生中 选取 2 名同时跳绳 恰好选中 1 男 1 女的概率 是 解析 画树状图 D91 如下 图 D91 由树状图可知共有 20 种等可能性结果 其中抽到 1 男 1 女 的情况有 12 种 项目黑 1黑 2白 1白 2 黑 1黑 1 黑 1 黑 1 黑 2 黑 1 白 1 黑 1 白 2 黑 2黑 2 黑 1 黑 2 黑 2 黑 2 白 1 黑 2 白 2 白 1白 1 黑 1 白 1 黑 2 白 1 白 1 白 1 白 2 白 2白 2 黑 1 白 2 黑 2 白 2 白 1 白 2 白 2 8 2016 年黑龙江哈尔滨 一个不透明的袋子中装有黑 白 小球各 2 个 这些小球除颜色外无其他差别 从袋子中随机摸 出 1 个小球后 放回并摇匀 再随机摸出 1 个小球 则两次摸 出的小球都是白球的概率为 解析 列表得 由上表可知 有放回的摸取 2 次共有 16 种等可能结果 其中 2 次摸出的小球都是白球有 4 种结果 易错陷阱 用列表法或画树状图法求概率时 注意列表法或 画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果 列表法 适合于两步完成的事件 树状图法适合两步或两步以上完成的 事件 注意概率等于所求情况数与总情况数之比 1 2014 年广东 一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不 同的球 其中 3 个红球 4 个白球 从布袋中随机摸出一个球 摸出的球是红球的概率是 答案 B 2 2011 年广东 在一个不透明的口袋中 装有 5 个红球 3 个白球 它们除颜色外都相同 从中任意摸出一个球 摸到红 球的概率为 答案 C 3 2015 年广东 老师和小明同学玩数学游戏 老师取出一个 不透明的口袋 口袋中装有三张分别标有数字 1 2 3 的卡片 卡 片除数字外其余都相同 老师要求小明同学两次随机抽取一张 卡片 并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率 于是小 明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果 如图 6 2 2 是小明同学所画的正确树状图的一部分 1 补全小明同学所画的树状图 2 求小明同学两次抽到卡片上的数字之 积是奇数的概率 图 6 2 2 解 1 补全小明同学所画的树状图 如图 D92 图 D92 2 共有 9 种等可能的结果 小明同学两次抽到卡片上的 数字之积是奇数的有 4 种情况 小明同学两次抽到卡片上的 4 2012 年广东 有三张正面分别写有数字 2 1 1 的卡 片 它们的背面完全相同 将这三张卡片背面朝上洗匀后随机 抽取一张 以其正面的数字作为 x 的值 放回卡片洗匀 再从 三张卡片中随机抽取一张 以其正面的数字作为 y 的值 两次 结果记为 x y 1 用树状图或列表法表示 x y 所有可能出现的结果 2 11 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 x y 出现的概率 解 1 用列表法表示 x y 所有可能出现的结果如下
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