第32讲平面向量的数量积1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x(C)A6 B5C4 D3 由已知8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c633x30，所以x4.2(2016新课标卷)已知向量(，)，(，)，则ABC(A)A30 B45C60 D120 因为(，)，(，)，所以|1，|1，所以cosABCcos，.因为0，180，所以ABC，30.3平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|ab|(B)A. B.C3 D7 |ab|2a22abb2|a|22|a|b|cos 60|b|2422117，故|ab|.4若|a|b|1，ab，且2a3b与ka4b也互相垂直，则k的值为(B)A6 B6C3 D3 因为2a3b与ka4b垂直，所以(2a3b)(ka4b)2ka212b2(3k8)ab2k120，解得k6.5(2017新课标卷)已知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，则m2. 因为a(2,3)，b(3，m)，且ab，所以ab0，即233m0，解得m2.6(2017天津卷)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，则的值为. 由题意，知|3，|2，32cos 603，()，所以()()223322254，解得.7已知|a|1，ab，(ab)(ab).(1)求a与b的夹角；(2)求ab与ab的夹角的余弦值 (1)因为(ab)(ab)，所以|a|2|b|2，又因为|a|1，所以|b|.设a，b的夹角为，则cos ，所以45.(2)因为(ab)2a22abb212，所以|ab|.(ab)2a22abb212，所以|ab|.设ab与ab的夹角为，则cos .8(2017北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的(A)A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (方法一)由题意知|m|0，|n|0.设m与n的夹角为.若存在负数，使得mn，则m与n反向共线，180，所以mn|m|n|cos |m|n|0.当90180时，mn0，此时不存在负数，使得mn.故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件(方法二)因为mn，所以mnnn|n|2.所以当0，n0时，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n(，当m，n(，)时，m，n不共线故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件9(2017浙江卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是4，最大值是2. 设a，b的夹角为.因为|a|1，|b|2，所以|ab|ab|.令y，则y2102.因为0，所以cos20,1，所以y216,20，所以y4,2，即|ab|ab|4,210(2017江苏卷)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 (1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos(x)因为x0，所以x，从而1cos(x).于是，当x，即x0时，f(x)取到最大值3；当x，即x时，f(x)取到最小值2.