主要内容主要内容 定义定义 第六节第六节 线性变换的值域与核线性变换的值域与核 值域与核的性质值域与核的性质 举例举例 A A 的值域的结构的值域的结构 A A 的秩 零度与空间维数的关系的秩 零度与空间维数的关系 一 定义一 定义 定义定义 1111 设设 A A 是线性空间是线性空间 V V 的一个线性变换的一个线性变换 A A 的全体像组成的集合称为的全体像组成的集合称为A A 的的值域值域 用 用A A V V表表 示示 所有被所有被 A A 变成零向量的向量组成的集合称为变成零向量的向量组成的集合称为 的的核核 用 用 A A 1 1 0 0 表示表示 若用集合的记号则 A A V V A A V V A A 1 1 0 0 A A 0 0 V V 二 值域与核的性质二 值域与核的性质 性质性质 线性变换的值域与核都是线性变换的值域与核都是 V V 的子空间的子空间 证明证明 由 A A A k A A k 可知 A V 是非空的 由 A 0 与 A 0 可知 A 0 A k 0 A V 对加法与数量乘法是封闭的 同时 因此 A V 是 V 的子空间 这就是说 A 1 0 对加法与数量乘法是封闭的 又 因为 A 0 0 所以 0 A 1 0 即 A 1 0 是非 空的 所以 A 1 0 是 V 的子空间 证毕证毕 A V 的维数称为 A 的秩秩 A 1 0 的维数称为 A 的零度零度 例例 1 1 在线性空间 P x n 中 令 D f x f x 则 D 的值域为 P x n 1 D 的核为子空间 P 三 三 A A 的值域的结构的值域的结构 定理定理 1111 设设 A A 是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的线性变的线性变 换 换 1 1 2 2 n n 是是 V V 的一组基 在这组基下 的一组基 在这组基下 A A 的矩阵是的矩阵是 A A 则 则 1 1 A A 的值域的值域 A A V V 是由基像组生成的子空间 是由基像组生成的子空间 即即 A A V V L L A A 1 1 A A 2 2 A A n n 2 2 A A 的秩的秩 A A 的秩的秩 证明证明 1 1 设 是 V 的任一向量 可用基表 示为 x1 1 x2 2 xn n 于是 A x1 A 1 x2 A 2 xn A n 这个式子说明 A L A 1 A 2 A n 因此 A V L A 1 A 2 A n 这个式子还 表明基像组的线性组合还是一个像 也即 L A 1 A 2 A n A V A V L A 1 A 2 A n 于是就有 2 2 根据 1 1 A 的秩等于基像组的秩 另一方 面 矩阵 A 是由基像组的坐标按列排列成的 在前 一章第八节中曾谈过 若在 n 维线性空间 V 中取 定了一组基之后 把 V 的每一个向量与它的坐标 对应起来 就得到了 V 到 P n 的同构对应 同构对 应保持向量组的一切线性关系 因此基像组与它 们的坐标组 即矩阵 A 的列向量组 有相同的秩 证毕证毕 四 四 A A 的秩 零度与空间维数的关系的秩 零度与空间维数的关系 定理定理 12 12 设设 A A 是是 n n 维线性空间维线性空间 V V 的线性变的线性变 换换 则则 A A V V 的一组基的原像及的一组基的原像及 A A 1 1 0 0 的一组基合的一组基合 起来就是起来就是 V V 的一组基的一组基 由此还有由此还有 A A 的秩的秩 A A 的零度的零度 n n 证明证明 设 A V 的一组基为 1 2 r 它们 的原像为 1 2 r A i i i 1 2 r 又取 A 1 0 的一组基为 r 1 r 2 s 现在来 证明 1 2 r r 1 r 2 s 为 V 的基 若有 l1 1 l2 2 lr r lr 1 r 1 ls s 0 用 A 去变它的两端的向量 得 l1 A 1 l2 A 2 lr A r lr 1 A r 1 ls A s A 0 0 因 r 1 r 2 s 属于A 1 0 故 A r 1 A r 2 A s 0 又 A i i i 1 2 r 于是上式就变成 l1 1 l2 2 lr r 0 但 1 2 r 是线性无关的 有 l1 l2 lr 0 于是等式 l1 1 l2 2 lr r lr 1 r 1 ls s 0 就变成 lr 1 r 1 ls s 0 又因为 r 1 r 2 s 是 A 1 0 的基也线性无关 就有lr 1 ls 0 这就证明了 1 2 r r 1 s 是线性无关的 再证 V 的任一向量 是 1 2 r r 1 s 的线性组合 由 1 A 1 r A r 是 A V 的 基 就有一组数 l1 l2 lr 使 A l1 A 1 l2 A 2 lr A r A l1 1 l2 2 lr r 于是 A l1 1 l2 2 lr r 0 即 l1 1 l2 2 lr r A 1 0 又因为 r 1 r 2 s 是 A 1 0 的基 必有一组 数 lr 1 lr 2 ls 使 l1 1 l2 2 lr r lr 1 r 1 ls s 于是就有 l1 1 l2 2 lr r lr 1 r 1 ls s 这就说明 是 1 2 r r 1 s 的线性组合 也就证明了 1 2 r r 1 s 是 V 的一组基 由 V 的维数为 n 知 s n 又 r 是A V 的维 数也即 A 的秩 s r n r 是 A 1 0 的维数 即 A 的零度 因而 A 的秩 A 的零度 n 证毕证毕 推论推论 对于有限维线性空间的线性变换 它是对于有限维线性空间的线性变换 它是 单射的充分必要条件为它是满射单射的充分必要条件为它是满射 证明证明显然 当且仅当 A V V 即 A 的秩 为 n 时 A 是满射 另外 当且仅当 A 1 0 0 即 A 的零度为 0 时 A 是单射 于是由上述定理 即可得出结论 证毕证毕 应该指出 虽然子空间虽然子空间 A A V V 与与 A A 1 1 0 0 的维数的维数 之和为之和为 n n 但是 但是 A A V V A A 1 1 0 0 并不是整个空间并不是整个空间 五 举例五 举例 例例 2 2 设线性变换 A 在三维线性空间 V 的一 组基 1 2 3 下的矩阵是 1 1 求 A 在基 1 2 3 下的矩阵 其中 2 2 求 A 的值域 A V 和核 A 1 0 3 3 把 A V 的基扩充为 V 的基 并求 A 在这 组基下的矩阵 4 4 把 A 1 0 的基扩充为 V 的基 并求 A 在 这组基下的矩阵 例例 3 3 设 A 是一个 n n 矩阵 A2 A 证明 A 相似于一个对角矩阵 证明证明 取一 n 维线性空间 V 以及 V 的一组基 1 2 n 定义线性变换 A 如下 A 1 2 n 1 2 n A 下面来证明 A 在一组适当的基下的矩阵是 1 这样 由也就证明了所要的结论 由 A2 A 可知 A 2 A 我们取 A V 的一 组基为 1 2 r 由 A 1 1 A r r 它们的原像也是 1 2 r 再取 A 1 0 的一组基为 r 1 n 由 知 1 2 r r 1 n 是 V 的一组基 在这组基下 A 的矩阵就是 1 证毕证毕 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮 本节内容已结束本节内容已结束 若想结束本堂课若想结束本堂课 请单击返回按钮请单击返回按钮