年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题解三角形教学目的教学内容第一节 正弦定理和余弦定理（一）高考目标考纲解读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题考向预测1利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变形解决问题2与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变形，这是高考的热点3三种题型均有可能出现，属中低档题目（二）课前自主预习知识梳理1 正弦定理和余弦定理2.解三角形的类型在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.解三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c. 可有两解，一解或无解（三）基础自测1(2010湖北理)在ABC中，a15，b10，A60，则cosB()AB. C D.答案D解析由正弦定理可得，sinB，又因为ba，所以B0，a2b2，ab.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c，b，B120，则a_答案 解析由余弦定理得b2a2c22accos120，即6a222aa或a2(舍去)6在ABC中，若sinC2cosAsinB，则此三角形是_三角形答案等腰解析由sinC2cosAsinB，得sin(AB)2cosAsinB，即sinAcosBcosAsinB2cosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，所以sin(AB)0.又因为AB，所以AB0，即AB.7在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，求A及的值解析a，b，c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cosA，A60，在ABC中，由正弦定理得sinB.b2ac，A60，sin60.（四）典型例题1.命题方向：正弦定理和余弦定理的应用例1在ABC中，已知a，b，B45，求A、C和c.分析已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A解析方法一：B4590，且bcb，角A为最大角由余弦定理有cosA，A120，sinA，再根据正弦定理，有，sinCsinA.2.命题方向：与面积有关的问题例2在ABC中，A60，b1，其面积为，则ABC外接圆的直径是_分析三角形外接圆直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A60，只要再能求出边a，问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键解析由题意知，SABCbcsinA，所以c4.由余弦定理知：a，再由正弦定理2R.即ABC外接圆的直径是.答案跟踪练习2 ：(2008江苏)满足条件AB2，ACBC的ABC的面积的最大值为_答案2解析设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCABBCsinB2x根据余弦定理得cosB，代入式可得SABCx，由三角形三边关系有解得22x0，则aksinA，bksinB，cksinC代入已知条件得ksinAcosAksinBcosBksinCcos C，即sinAcosAsinBcosBsinCcosC.根据二倍角公式得sin2Asin2Bsin2C，sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)2sinCcosC，2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC.ABCABC，sin(AB)sinC0，cos(AB)cosC，cos(AB)cos(AB)0，2cosAcosB0cosA0或cosB0，即A90或B90，ABC是直角三角形方法二：由余弦定理知cosA，cosB，cosC，代入已知条件得abc0，化简得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4，a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形跟踪练习3：ABC中，a2tanBb2tanA，判断三角形的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由正弦定理得sin2AtanBsin2BtanA，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.又因为A，B(0，)，所以AB或AB90.4.命题方向：正、余弦定理的综合应用例4ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2c2a2bc0.(1)求角A的大小；(2)若a，求bc的最大值；(3)求的值分析(1)由b2c2a2bc0的结构形式，可联想余弦定理，求出cosA，进而求出A的值(2)由a及b2c2a2bc0，可求出关于b，c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的解析(1)cosA，A120.(2)由a，得b2c23bc.又b2c22bc(当且仅当cb时取等号)，3bc2bc(当且仅当cb时取等号)，即当且仅当cb1时，bc取得最大值为1.(3)由正弦定理，得2R，=.跟踪练习4：在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tanB的值解析由余弦定理cosA，因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知条件，应用正弦定理cotB，解得cotB2，从而tanB.（五）思想方法点拨1在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能3一般地，由sinsin/ ，但在ABC中，sinAsinBAB.4判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边具体有如下四种方法：通过正弦定理实施边、角转换；