年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题平面解析几何（二）教学目的教学内容第三节 圆的方程（一）高考目标考纲解读1掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程考向预测1利用待定系数法求圆的方程和已知圆的方程确定圆心和半径是考查的重点2本部分内容在高考中常以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题（二）课前自主预习知识梳理1圆的定义(1)在平面内，到的距离等于的点的集合叫圆(2)确定一个圆最基本的要素是和 2圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中为圆心，r为半径3圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为，半径r.4点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点M在 (x0a)2(y0b)2r2；(2)点M在 (x0a)2(y0b)2r2；(3)点M在 (x0a)2(y0b)2r2.（三）基础自测1(2010福建理)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x0答案D解析抛物线y24x的焦点是(1,0)圆的标准方程为(x1)2y21，即x2y22x0.2(2009辽宁理)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22答案B解析考查两平行直线的距离公式、直线与圆相切的性质及圆的标准方程解：直线yx与yx4均与圆相切，设两直线间距离为d，则圆的半径r，设圆心坐标为(a，a)，则a1，当a1时，圆不与直线yx4相切，a1.圆的方程为(x1)2(y1)22，选B.3(教材改编题)方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是()A.m1 Cm Dm1答案D解析原方程表示圆(4m)2(2)245m0，解得m1.4已知x2y24x2y40，则x2y2的最大值为()A9 B14 C146 D146答案D解析方程表示以(2,1)为圆心，半径r3的圆，令d，则d为点(x，y)到(0,0)的距离，dmaxr3，x2y2的最大值为(3)2146.5圆x2(y1)21的圆心坐标是_，如果直线xya0与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是_答案(0，1)，1a1解析可知圆心坐标为(0，1)直线xya0与该圆有公共点，则1，1a1.6已知BC是圆x2y225的动弦，且|BC|6，则BC的中点的轨迹方程是_答案x2y216解析设BC中点为P(x，y)，则OPBC，|OC|5，|PC|3，|OP|4，x2y216.7根据下列条件求圆的方程：(1)经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x10y90上；(2)经过P (2,4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.解析(1)解法1：AB的中垂线方程为3x2y150，由解得圆心为C(7，3)，又|CB|.故所求圆的方程为(x7)2(y3)265.解法2：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得，解得所以所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0.将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0设x1，x2是方程的两根由|x1x2|6有D24F36由得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.（四）典型例题1.命题方向：求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程(1)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程；(2)求经过两已知圆C1x2y24x2y0与C2x2y22y40的交点，且圆心在直线l2x4y1上的圆的方程分析用直接法或待定系数法解析(1)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120.而圆心到直线3x4y150的距离d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圆的方程为x2y236.(2)由题意可设圆的方程为(x2y24x2y)(x2y22y4)0，(1)即(1)x2(1)y24x(22)y40，圆心坐标为(，)，代入l2x4y1，得3.所以所求圆的方程为x2y23xy10.点评无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式另外，还有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等跟踪练习1求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程分析因题中涉及圆心及切线，故设标准形式较简单解析解法1设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx0的距离为，r2()2()2，即2r2(ab)214.由于所求的圆与x轴相切，r2b2.又所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.解法2设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心为(，)，半径为.令y0，得x2DxF0.由圆与x轴相切，得0，即D24F.又圆心(，)到直线yx的距离为.由已知，得()2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心(，)在直线3xy0上，3DE0.联立解得D2，E6，F1或D2，E6，F1.故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.点评求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程.2.命题方向：与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值分析根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解解析(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.点评与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题跟踪练习2已知点P(x，y)是圆(x2)2y21上任意一点(1)求P点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值；(2)求x2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值解析(1)圆心C(2,0)到直线3x4y120的距离为d.P点到直线3x4y120的距离的最大值为dr1，最小值为dr1.(2)设tx2y，直线x2yt0与圆(x2)2y21有公共点1.2t2，tmax2，tmin2.(3)设k，直线kxyk20与圆(x2)2y21有公共点，1.k，kmax，kmin.3.命题方向：与圆有关的轨迹问题例3如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连结BC并延长至D，使|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程解析设动点P(x，y)，由题意可知点P是ABD的重心，A(1,0)、B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x01,2y0)，由重心坐标公式得：，代入x2y21得，所求轨迹方程为2y2(y0)点评本题求轨迹方程的方法叫相关点法用相关点法求轨迹方程的基本步骤：(1)设所求点的坐标为P(x，y)(若x，y与题中已知的字母有冲突，则将这些已知字母全部替换成其他字母)，与P相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q(x0，y0)；(2)建立二者之间的等量关系，从而求得x0f(x，y)，y0g(x，y)；(3)将Q(x0，y0)的坐标代入点Q满足的方程进行求解，等价化简得所求轨迹方程注意：求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形跟踪练习3点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21答案A解析