讲义编号： 年 级： 辅导科目：数学 课时数：课 题推理与证明教学目的教学内容一、 知识网络二、命题分析1推理与证明是新课程中非常重要的内容，在2012年高考中有可能成为考查的重点，三种题型都有可能若以选择题和填空题出现，则主要考查归纳和类比推理的运用以及推理的有关概念问题等；而对常用的证明方法的考查主要以解答题的形式出现，可能是某个解答题中的一问，单独考查的可能性不大题目的难度会以中档题为主2探索性命题是近几年高考中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，通过归纳推理得到一个般性的结论，然后再要求给出证明归纳、猜想、证明是数学中发现新规律的一种主要方法，是归纳推理的一种重要体现，此类题型可能成为2012年高考的重点题型三、复习建议2在推理证明的复习中，要准确把握概念，把握好各种证法的特点和步骤，注意灵活运用(1)对于合情推理，主要是掌握相关概念，会进行类比推理，能判断推理的类型(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力四、知识讲解第一节 归纳与类比（一）高考目标1了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考向预测1考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用2主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主（二）课前自主预习知识梳理1根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为 2根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为3归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理（三）、基础自测1已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A.B. C. D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2an，an1an(a2)，当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4，猜想an，故选B.2利用归纳推理推断，当n是自然数时，(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是整数 C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数答案C解析当n1时，值为0；当n2时，值为0；当n3时，值为2；当n4时，值为0；当n5时，值为6.3对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心 B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心 D中心答案D解析边的中点对应于面的中心4(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A2 B4 C6 D8答案C解析因为其规律是a为肩上两数之和，故a336.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等；各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等A B C D答案B解析类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，”而违背了这一原则5在平面几何中，若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积Sr(abc)成立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则这个四面体的体积V_成立答案R(S1S2S3S4)解析通过类比，可把四面体分割为四部分6(2010陕西理)观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_答案132333435363212解析由132333n32知n6时为132333435363212.7在数列an中，a11，an1(nN*)，试猜想这个数列的通项公式解析a11，a2，a3，a4，猜想：an.（四）典型例题1.命题方向：归纳推理例1通过归纳推理完成下列各题：(1)观察下表113587911271315171964据此你可归纳猜想出的结论是_(2)观察下式：13135135713579据此你可归纳猜想出的一般结论为_(3)设数列an的前n项和为Sn，Sn2nan(nN*)，计算前4项，归纳出an_.(4)平面上两条直线最多有一个交点，三条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，则n条直线(nN*，n2)最多有_个交点答案(1)n(n1)1n(n1)3n(n1)(2n1)n3(2)135(2n1)n2(3)(4)n(n1)点评由特殊结果，归纳总结出一般结论，是一种很重要的题型、结论正确，可以给出一般性的证明归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠跟踪练习1当正三角形的边长为n(nN*)时，图(1)中点的个数为f3(n)123(n1)(n1)(n2)；当正方形的边长为n时，图(2)中点的个数为f4(n)(n1)2；在计算图(3)中边长为n的正五边形中点的个数f5(n)时，观察图(4)可得f5(n)f4(n)f3(n1)(n1)2(n1)(3n2)；.则边长为n的正k边形(k3，kN)中点的个数fk(n)_。 分析通过对从正三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正五边形中点的个数的过程，归纳出通过三角形中点的个数和正四边形中点的个数研究正k边形中点的个数的规律，从而进行解答答案(n1)(k2)n2解析观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f3(n1)的三角形，依次类推可以推知边长为n的正k(k5，kN)边形就可以分割为一个点数为f4(n)的四边形和k4个点数为f3(n1)的三角形，即fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)，并且这个规律对k3,4也成立，这样fk(n)f4(n)(k4)f3(n1)(n1)2(k4)(n1)(k2)n2(k3，kN).2.命题方向：类比推理例2在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想分析考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体PABC，且三个面分别与面ABC所成的二面角分别是、.解析如图，在RtABC中，cos2Acos2B221.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为、，则cos2cos2cos21.跟踪练习2已知等差数列an：7，5，3，1，1,3,5,7,9，设其前n项和为Sn，易知a4a50，且有S1S7，S2S6，S3S5，一般地，对于等差数列an，其前n项和为Sn，若存在kN*，k2，使akak10，则对任意的nN*，且n2k1，等式S2knSn恒成立请你用类比的方法，写出等比数列bn中相应的正确命题，并给予证明解析命题为：对于等比数列an，其前n项之积为Tn，若存在kN*，k2，使bkbk11，则对任意nN*且n2k1等式T2knTn恒成立证明如下：设bn的公比为q，由bkbk11知，（五）思想方法点拨：1归纳是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式，具有以下几个特点：(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围；(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的2类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想(六)课后强化作业一、选择题1(2010山东文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(x)g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查2观察下式：112,23432,3456752,4567891072，则第n个式子是()An(n1)(n2)(2n1)n2Bn(n1)(n2)(2n1)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n2)