2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.2.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量，且，则( )A.B.C.D.104.设，则的值是( )A.B.C.D.5.已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A.0B.2C.或1D.0或26.执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A.B.C.D.7.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，)A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年8.已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A.B.C.D.9.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A.B.C.D.10.函数的大致图象是( )ABCD11.如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A.B.C.D.12.若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，其中一定不是“完美四面体”的为( )A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则该组的频数为.14.若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为.15.若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是.16.已知双曲线的焦点为，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列的首项为，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.18.某种产品的质量以其“无故障使用时间(单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：无故障使用时间(小时)频数204040以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润(单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为(单位：元)，求的分布列与数学期望.19.如图，正三棱柱中， ，为棱上靠近的三等分点，点在棱上且面.(1)求的长；(2)求二面角的余弦值.20.已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：为定值.21.已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：，其中为自然对数的底数.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.23.已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，求的取值范围.2018年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题参考答案一、选择题1-5:ADCAD 6-10:BBCCD 11、12：BB二、填空题13.50 14.15 15. 16.三、解答题17.解：(1)，数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，.18.解：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为；(2)由题意知，的分布列为010203040所以的数学期望(元).19.解：(1)如图，作与交于点，面面，面，于是在平行四边形中，.(2)取的中点，是正三棱柱，面，连结，由(1)知，又面，从而面，于是二面角的平面角为，由题，故二面角的余弦值为.20.解：(1)由题意知，且，解得，椭圆的方程为；(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设，则，由，得，所以，故为定值2.21.解：(1)由得，记，则，当时，当时，在上递增，在上递减，又，时，时，由题，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，故.(2)，故只需证明：，由，作差得：，因此，不妨设，并令，则，在上单调递减，即，即成立，于是原命题得证.22.解：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点的极径为.(2)在极坐标系中，设点，由题意可得，进而可得，从而点的轨迹的直角坐标方程为.23.解：(1)当时，解不等式，得，所以，的解集为.(2)当时，所以当时，等价于恒成立，所以；当时，等价于恒成立，所以；当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.