1 绝密 启用前 绝密 启用前 2019 年河北衡水中学 2 月全国高三统一联合考试 理科数学 考试时间 120 分钟试卷满分 150 分 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自 己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 若集合 A x x 3 B x x 2 则 A B A x x 3 B x 0 x 3 C x 0 x 3 D x x 4 2 已知 i 为虚数单位 若 a 为实数 且 a 0 则 ai ai 1 A a iB a i C iD i 3 如图 网格纸上每个小正方形的边长为 10 cm 粗实线 画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图 则 该蛋糕的体积为 A 3 103cm3 B 7 103cm3 C 9 103cm3 D 10 103cm3 4 已知 2 2 且 cos2 2sin2 1 则 tan A 1 2 B 1 2 C 2D 2 2 5 在 x2 y x 5的展开式中 xy3的系数为 A 20B 10C 10D 20 6 函数 f x 2 1 x x e xe 的图像大致为 7 摆线最早出现于公元 1501 年出版的 C 鲍威尔的一本书中摆线是这样定义的 一个圆沿 一条直线缓慢地滚动 则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线 圆滚动一周 动圆上定 点描画出摆线的第一拱 再向前滚动一周 动圆上定点描画出第 二拱 继续滚动 可得第三拱 第四拱 设圆的半径为 r 圆滚动的圈数为 c 摆线的长度为 l 执行如图所示程序框图 若 输入的 r 2 c 2 则输出摆线的长度为 A 12 B 16 C 32D 96 8 在 ABC 中 a b c 分别为角 A B C 的对边 b 2 c 7 C 60 则 sinA 的值为 A 7 7 B 21 7 C 3 7 14 D 3 21 14 9 某车站在某一时刻有 9 位旅客出站 假设每位旅客选择共 享单车继续出行的概率都为 1 2 且各位旅客之间互不影 响 设在这一时刻 9 位旅客中恰好有 k 人骑行共享单车的 概率为 P X k 则 A P X 4 P X 5 B P X 4 P X 5 C P X 5 P X 6 3 D P X 5 P X 6 10 在边长为 8 的等边 ABC 中 D E 分别为 AC AB 的中点 现将 ADE 沿 DE 折起到 A DE 的位置 使得A B 210 则直线与底面 BCDE 所成角的正弦值为 A 10 10 B 30 10 C 70 10 D 21 7 11 已知抛物线 C y2 4x 的焦点为 F A 为抛物线 C 上异于顶点 O 的一点 点 B 的坐标为 a b 其中 a b 满足 b2 4a 0 当 AB AF 最小时 ABF 恰为正三 角形 则 a A 1B 4 3 C 5 3 D 2 12 已知函数 f x ln 2 2 02 ln 2 2 xx x xx 若 f x x a 对任意的 x R 恒成立 则实 数 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 4 C 1 2 D 1 1 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知向量 a 2 1 b 3 2 若 a b a 则实数 14 函数 f x x2 ln x 的图像在点 1 f 1 处的切线方程为 15 将函数 f x 2cos2 x 3 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标 不变 再把所得函数的图像向右平移 1 个单位长度 最后得到的图像对应的函数设为 g x 则 g x 在区间 1 1 上的所有零点的和为 16 已知双曲线 C 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F2的直线 l 与 C 交于 A B 其中点 A 在 x 轴上方 两点 且满足 2 AF uuu r 2 F B uuu r 若 C 的离心率 为 3 2 直线 l 的倾斜角为 120 则实数 的值是 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 4 已知等比数列 n a 是递减数列 a1a4 3 a2 a3 4 1 求数列 n a 的通项公式 2 设 n b 2 2n 1n a n 求数列 n b 的前 n 项和 n T 18 12 分 如图 在多面体 ABCDFE 中 四边形 ABCD 是菱 形 ABC 60 四边形 ABEF 是直角梯形 FAB 90 AF BE AF AB 2BE 2 1 证明 CE 平面 ADF 2 若平面 ABCD 平面 ABEF H 为 DF 的中点 求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余 弦值 19 12 分 为了解高三学生的 理科综合 成绩是否与性别有关 某校课外学习兴趣小组在本地区 高三年级理科班中随机抽取男 女学生各 100 名 然后对这 200 名学生在一次联合模拟 考试中的 理科综合 成绩进行统计 规定 分数不小于 240 分为 优秀 小于 240 分为 非优秀 1 根据题意 填写下面的 2 2 列联表 并根据列联表判断是否有 90 以上的把握认 为 理科综合 成绩是否优秀与性别有关 2 用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取 12 名学生 然后再从这 12 名学生 中抽取 3 名参加某高校举办的自主招生考试 设抽到的 3 名学生中女生的人数为 X 求 X 的分布列及数学期望 5 20 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知椭圆 C 22 22 xy ab 1 a b 0 的离心率为 2 2 3 直线 l 和椭圆 C 交于 A B 两 点 当直线 l 过椭圆 C 的焦点 且与 x 轴垂直时 AB 2 3 1 求椭圆 C 的方程 2 设直线 l 过点 1 0 且倾斜角为钝角 P 为弦 AB 的中点 当 OPB 最大时 求 直线 l 的方程 21 12 分 已知函数 f x 2ax x e 1 1 讨论函数 f x 的单调性 2 当 a 1 3 e 时 求证 f x lnx 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 2cos sin xt yt t 为参数 曲线 C 的参数方程为 cos sin x y 为参数 点 P 的坐标为 2 0 1 当 cos 12 13 时 设直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 求 PA PB 的值 2 若点 Q 在曲线 C 上运动 点 M 在线段 PQ 上运动 且PM uuur 2MQ uuu r 求动点 M 的 轨迹方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数 f x x 1 2x 6 1 在给出的平面直角坐标系中作出函数 f x 的图像 并解不等式 f x 2 2 若不等式 f x x 1 k 1 对任意的 x R 恒成立 求证 k 6 k 5