1981年2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编数论部分2019A 5、在 中随机选出一个数，在 中随机选出一个数，则被整除的概率为 答案： 解析：首先数组有 种等概率的选法 考虑其中使被整除的选法数N若被 3 整除，则也被 3 整除此时各有3种选法，这样的有 组若不被 3 整除，则，从而此时有7 种选法，有4种选法，这样的有组 因此于是所求概率为。2019A三、（本题满分 50 分）设为整数，整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有证明：若存在整数, ( )使得，则解析：证明：不妨设互素（否则，若，则互素，并且用代替，条件与结论均不改变） 由数列递推关系知 以下证明：对任意整数，有 10 分 事实上，当时显然成立假设时成立（其中为某个大于2的整数），注意到，有，结合归纳假设知，即时也成立因此对任意整数均成立 20 分 注意，当时，对也成立 设整数, ( )，满足若，由对均成立，可知即，即 若，则故此时由于对均成立，故类似可知仍成立 30 分 我们证明互素 事实上，假如与存在一个公共素因子 ，则由得为的公因子，而互素，故，这与矛盾 因此，由得又，所以 50分2018A四、（本题满分50分）数列定义如下：是任意正整数，对整数，与互素，且不等于的最小正整数，证明：每个正整数均在数列中出现。证明：显然或者.下面考虑整数，设有个不同的素因子，我们对归纳证明在中出现.记，.时，是素数方幂，记，其中，是素数.假设不在中出现.由于各项互不相同，因此存在正整数，当时，都有.若对某个，那么与互素，又中无一项是，故有数列定义知，但是，矛盾！因此对每个，都有.又，可得，从而与不互素，这与的定义矛盾！假设，且结论对成立.设的标准分解为.假设不在中出现，于是存在正整数，当时，都有.取充分大的正整数，使得.我们证明，对，有.对于任意，若与互素，则与互素，又在中均未出现，而，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意，与不互素，若存在（），使得，则，故，从而（因为）。若对每个（），均有，则由知，必有.于是，进而，即.故由知：存在（），使得，再由及前面的假设，可知，故。因此，对，均有，而，故不在中出现，这与假设矛盾！因此，若有个不同的素因子，则一定在数列中出现.由数学归纳法知，所以正整数均在数列中出现。2018B四、（本题满分50分）给定整数。证明：对任意正整数，存在正整数，使得连续个数，均是合数。证明:设是中与互素的全体整数，则，无论正整数如何取值，均与不互素且大于，故为合数。对任意，因，故有素因子.我们有（否则，因是素数，故，但，从而，即与不互素，与的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，现取，对任意，注意到，故有.又，故为合数。综上所述，当时，均是合数。2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数是 答案： 解析：考虑平稳数。若，则，有个平稳数；若，则，有个平稳数；若，则，有个平稳数；若，则，有个平稳数；综上可知，平稳数的个数为。2017B 8、若正整数满足，则数组的个数为 答案：解析：由条件知，当时，有，对于每个这样的正整数，由知，相应的的个数为，从而这样的正整数组的个数为，当时，由，知，进而，故，此时共有2组.综上所述，满足条件的正整数组的个数为.2016A 8、设是中的个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数为 答案：40解析：由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列于是问题等价于计算满足的等比数列的个数设等比数列的公比，且为有理数记，其中为互素的正整数，且先考虑的情况此时，注意到互素，故为正整数 相应地，分别等于，它们均为正整数这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列综上可知，共有40个满足条件的有序数组2016A四、（本题满分50分）设与均是素数，数列定义为，这里表示不小于实数的最小整数。证明：对，均有成立。证明：首先注意到，数列是整数数列。对用数学归纳法。当时，由条件知，故，又与均是素数，且，故必须，因此，即时，结论成立。对，设时结论成立，即，此时，故故对时，有，显然，因为，是素数，故，又是大于的自然数，故，从而与互素，故由可知。由数学归纳法知，对，均有成立。2016B 8、设正整数满足，且这样的的个数为 这里，其中表示不超过的最大整数答案：解析：由于对任意整数，有等号成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个解析：首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，这里是一个整数，故因此，当整数满足时，容易验证，当正整数满足时，只有当时，等式才成立而，故当时，满足正整数的个数为2016B一、（本题满分40分）非负实数和实数满足：（1）,；（2）是奇数求的最小值解析：由已知条件（1）可得：于是（注意） 不妨设则若，并且令 则于是由条件（2）知，是奇数，所以是奇数，这与矛盾因此必有，或者则 于是结合得又当时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以的最小值为12016B二、（本题满分40分）设是正整数，且是奇数已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满足证明：记,是奇数，,是偶数，则,的不超过的正约数的集合是证明：记，则的不超过的正约数的集合是若结论不成立，我们证明对，因为是奇数，故，又，而没有在区间中的约数，故，即，故反过来，对，设，则，是奇数，又，故从而所以故的不超过的正约数的个数为偶数，与已知矛盾从而结论成立2015A 8、对四位数，若，则称为类数；若，则称为类数.用分别表示类数和类数的个数，则的值为 答案：解析：分别记P类数、Q类数的全体为A、B，再将个位数为零的P类数全体记为，个位数不等于零的尸类数全体记为对任一四位数，将其对应到四位数，注意到，故 反之，每个唯一对应于从中的元素这建立了与B之间的一一对应，因此有下面计算对任一四位数, 可取0, 1，9，对其中每个，由及知，和分别有种取法，从而因此，2015A四、（本题满分50分）求具有下述性质得所有整数：对任意正整数，不整除。解析：对正整数，设表示正整数的标准分解中素因子2的方幂，则熟知， 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和由于不整除，等价于，即，进而由知，本题等价于求所有正整数，使得对任意正整数成立 10分我们证明，所有符合条件的为一方面，由于对任意正整数成立，故符合条件 20 分另一方面，若不是2的方幂，设是大于1的奇数下面构造一个正整数，使得因为, 因此问题等价于我们选取的一个倍数，使得由（2，）=l，熟知存在正整数，使得（事实上，由欧拉定理知，可以取的) 设奇数的二进制表示为取，则，且我们有 由于，故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项又因为，故的二进制表示中均不包含1，故由可知,因此上述选取的满足要求综合上述的两个方面可知，所求的为50分2015B三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组，满足：证明：考虑的特殊情况，此时成立10 分由知，故由知，故为满足、，取,此时40 分当正整数2015时，均符合条件，因此满足条件的正整数组有无穷多个 50 分2015B四、（本题满分50分）给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，如果存在使得为奇数，或者存在整数，使得，则称是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数解析：首先注意，“存在，使得为奇数”是指存在一个数与它所在的位置序号的奇偶性不同；“存在整数，使得”意味着排列中存在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性将不是好排列的排列称为“坏排列”，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏排列数注意坏排列同时满足：（1）奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；（2）单调递增10 分下面来求坏排列的个数设P是坏排列全体，Q是在中任取项组成的单调递增数列的全体对于P中的任意一个排列，定义 因为，故由条件（1）可知，所有的均属于集合再由条件（2）可知，（）单调递增故如上定义的给出了的一个映射显然是一个单射 30 分下面证明是一个满射事实上，对于Q中任一个数列，令（）因为整数，故，从而故单调递增又，而，及为偶数，故为P中的一个排列显然，故是一个满射综上可见，是的一个一映射，故40分又Q中的所有数列与集合的所有元子集一对应，故，从而最后，我们用总的排列数扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为 50 分2014A四、（本题满分50分）设整数模互不同余，若整数模也互不同余，证明：可将重新排列为，使得：模互不同余。证明：记，不妨设，对每个整数，若，则令，；否则，令，。可知情形，都能得到， 若不然，我们有，两式相加得，于是，但模互不同余，特别地，矛盾。由上述构造方法知，是的排列，记，。下面验证模互不同余。这只需证明，对任意整数，模两两不同余。实际上前面的构造方法中已经保证了，情形一：，且时，由前面的构造方法可知：，由于，易知与及模不同余，与及模不同余，从而模更不同余，在结合式可见式得证。情形二：，且时，由前面的构造方法可知：，同样有与及模不同余，与及模不同余，同情形一得证。情形三：，且（，且时也一样）时，由前面的构造方法可知：，由于是奇数，故，因此仍然有与及模不同余，与及模不同余，有情形一，从而式得证。综上可知，本题得证。2014B三、（本题满分50分）给定正整数，是非零整数，且为奇数，假定方程有整数解其中.证明：是某个整数的次幂。证明：设，其中是和的最大公因素，则与互素。根据方程，我们得到，所以。又，且，所以，再我们假设，所以与互素，从而，即，注意到与互素，所以与也互素，从而，所以，也就是是的次幂，结论得证。2013A二、（本题满分40分）给定正整数，数列的定义如下：，对整数，记（），证明：数列中有无穷多项完全平方数。证明：对正整数，有所以设，其中是非负整数，是奇数，取，其中是满足的任意正整数，此时，注意到是奇数，故所以是完全平方数，由于的任意性，故数列中有无穷多项完全平方数。2013A四、（本题满分50分）设为大于的整数，证明：存在个不被整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除。证明：当为的幂的情形，设，。取个及个，显然这些书均不被整除。将这个数任意分成两组，则总有一组中含有个，它们的和为，被整除。当不是的幂的情形，取个数，因为不是的幂