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第一讲 函数及其性质A组题1. (2017年高考北京卷理)已知函数,则( )A. 是奇函数,且在R上是增函数 B. 是偶函数,且在R上是增函数C. 是奇函数,且在R上是减函数 D. 是偶函数,且在R上是减函数【答案】A【解析】,所以该函数是奇函数,并且是增函数, 是减函数,根据增函数减函数=增函数,可知该函数是增函数,故选A.2.函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( )A B C D【解析】可验证函数满足,是偶函数,故选.3.已知函数,则下列结论正确的是()A是偶函数 B是增函数 C是周期函数D的值域为【解析】当时,当时,故选4.如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5,那么在区间上是( )A增函数且最小值是-5 B增函数且最大值是-5C减函数且最大值是-5 D减函数且最小值是-5【解析】奇函数图像关于原点对称,故由题在上递增,故在上, ,故选5.若函数是上周期为的奇函数,且满足,则( ) A. B. C. D. 【解析】因为函数是上周期为的奇函数,所以故选6.函数f(x)lg|sin x|是( )A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为2的偶函数【解析】当时,且,故选7.(2016哈尔滨联考)已知函数f(x)恒满足,且当x2x11时,f(x2)f(x1)(x2x1)abBcba Cacb Dbac【解析】图象关于直线对称,当x2x11时,f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立说明在上单减,故,故选8.(2017年全国3卷文)设函数则满足的x的取值范围是_。【答案】(-, )【解析】由题意得: 当时, 恒成立,即;当时, 恒成立,即;当时, ,即.综上,x的取值范围是.9.若函数在上是增函数,则实数的取值范围是 .【解析】设,因为外函数是单调函数,故内函数在 上单增,应有,解得.空填.10.设函数满足,当时,则 .【解析】由题,故 11.二次函数的图象与函数的图象关于点成中心对称. (1)求函数的解析式; (2)是否存在实数,满足定义域为时,值域亦为,若存在,求出的值;若不存在, 说明理由.【解析】(1)设,则点关于点的对称点在函数图象上, 故,得. (2),假设存在满足条件的,则,则在上单调递增, 所以,解知不存在.B组题1.(2016海南中学考前模拟)已知函数关于直线对称,且周期为2,当时,则( ) A0 B C D1【解析】由题意可得,故选B.2.【2016山东滨州二模】若函数为奇函数,则的解集为( )A B C D【解析】由于函数为上奇函数,所以,所以,由于为增函数,而为减函数,所以是减函数,又因为,由可得,从而,故选3设是奇函数,且在内是增函数,又,则的解集是( )A B C D【解析】是奇函数,且在上单增,对于不等式, 当时,满足;当时,不满足. 当.时,满足;当时,不满足.故选4. 已知是定义在上的以3为周期的偶函数,若,则实数的取值范围为()A(1,4) B(2,0) C(1,0) D(1,2)【解析】因为是定义在上的以3为周期的偶函数,解得选项5.已知函数定义域为,且不恒为零,若函数的图象关于对称,函数的图象关于直线对称,则下列式子中错误的是( ) A. B. C. D.【解析】的图象关于对称关于对称 ;的图象关于直线对称图象关于直线对称所以的周期,且的所有对称轴为:,所有对称中心为,故选6.【2016辽宁抚顺一中四模】已知函数满足,且当时,若当时,函数与轴有交点,则实数的取值范围是( ) A B C D【解析】由对数的性质,及知当时,方程与轴有交点,则有解,即函数的图象与直线有交点,作出函数的图象与直线,如图,由图象知7. 已知函数,则 .【解析】设,因为,所以 ,故此空填8.是定义在上的奇函数,当时,若,则实数的取值范围是 .【解析】由题示意图象,可知恒增,故,解得.9.设函数,若,则 .【解析】设,故 故填10. 设,若时,且在上的最大值为1. (1)求的值; (2)若不存在零点,求的取值范围,并求的最大值; (3)若存在零点,求值.【解析】(1)在上的最大值为1, 且,故. (2),又不存在零点,则 解得,又由(1)知,所以的取值范围为 则,由,当时,的最大值为 (3)若存在零点,则,或 又因为,所以,则对称轴,又因为时,所以 ,得,所以C组题1. 设函数,若对, ,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.【解析】由题意分析可知条件等价于在上单调递增,又,当时,结论显然成立,当时,则,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,综上,实数的取值范围是.2.已知集合,定义映射,则从中任取一个映射满足由点构成且的概率为( ) A. B. C. D. 【解析】映射满足由点构成,又因为若时,可构成个三角形,时,可构成个三角形,若时, 可构成个三角形,若时,可构成个三角形,共计个,其中等腰三角形12个,映射共有个,构成且的概率,3.函数的图象大致为( )【解析】,是奇函数,排除,又在区间上,排除,当时,排除,故选4. 已知函数, 设,(、分别表示中的较大者及 较小者,记,则( ) A. B. C.-16 D.16【解析】令得,则与图象交于, 示意图象可知:,所以故选5.已知函数是定义在R上的奇函数,当0时,(|xa2|x2a2|3a2)若R,则实数的取值范围为( )A B C D【解析】画出图象,由R,即图象向右平移个单位后的图象总在图象下方, 故,故选6.定义在上的函数对任意都有,且函数的图像关于成中心对称,若,满足不等式则当时,的取值范围是( ) A B C D【解析】由的图像相当于的图像向右平移了一个单位;又由的图像关于中心对称,知的图像关于中心对称,即为奇函数,得,从而,化简得,又,故,从而,而,故,又,故选7.【2016四川绵阳三诊】已知函数其中常数,给出下列结论:是上的奇函数;当时,对任意恒成立;的图象关于和对称;若对,使得,则其中正确的结论是 (请填上你认为所有正确结论的序号)【解析】因为所以其图象如下图所示,由于图象关于原点对称,故正确;因为时,故可得的图象是由向右平移个单位,故正确;观察图可知错误;对于当,即时,故当从负方向接近于0时,不满足题意,当,即时,同上可知不满足题意,当,即时,要使得和时相对应时,需满足,即,故错误故此空填.8. 函数在定义域上不是单调函数,则实数的取值范围是 .【解析】,若在上单调,(1)为增,则,无解; (2)为减,则,解得,由题9.已知是方程的两个不等实根,函数的定义域为,若对任意,恒有成立,则实数的取值范围是 . 【解析】是方程的两个不等实根,结合图像可知,当时,所以在恒成立,故函数在定义域内是增函数,所以,又因为是方程的两个不等实根,则,代入化简得:,由对任意的成立,得:,结合,得,故实数的取值范围是.10. ,函数,记在区间上的最大值为,求的表达式.【解析】时, (1)若,单调递减,则; (2)若,可判断在上递减,在上递增, 则(选大), 所以 综上所述:.
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