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www.ks5u.com微专题90 取球问题一、基础知识: 在很多随机变量的题目中,常以“取球”作为故事背景,通过对“取球”提出不同的要求,来考察不同的模型,常见的模型及处理方式如下:1、独立重复试验模型:关键词“可放回的抽取”,即下一次的取球试验与上一次的相同。2、超几何分布模型:关键词“不放回的抽取”3、与条件概率相关:此类问题通常包含一个抽球的规则,并一次次的抽取,要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型:要注意虽然题目中会说明“相同的”小球,但是为了能使用古典概型(保证基本事件为等可能事件),通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素,在利用排列组合知识进行分子分母的计数。5、数字问题:在小球上标注数字,所涉及的问题与数字相关(奇,偶,最大,最小等),在解决此类问题时,要将数字模型转化为“怎样取球”的问题,从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题:例1:一袋中有6个黑球,4个白球(1)不放回地依次取出3个球,已知第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率(2)有放回地依次取出3个球,已知第一次取出的是白球,求第三次取到黑球的概率(3)有放回的依次取出3个球,求取到白球个数的分布列,期望和方差(1)思路:因为是不放回的取球,所以后面取球的情况受到前面的影响,要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球,所以剩下6个黑球,3个白球;若第二次取到黑球,则第三次取到黑球的概率为,若第二次取到白球,则第三次取到黑球的概率为,从而能够得到第三次取到黑球的概率解:设事件为“不放回取球,第一次取出白球时,第三次取到黑球”(2)思路:因为是有放回的取球,所以每次取球的结果互不影响,属于独立重复试验模型,所以第三次取球时依然是6个黑球,3个白球,取得黑球的概率为解:设事件为“有放回取球,第一次取出白球时,第三次取到黑球”(3)思路:本问依然属于独立重复试验模型,的取值为,则符合二项分布,即,所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率,得到分布列解:的取值为,依题意可得: 例2:已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲,乙两个盒内各任取2个球(1)求取出的4个球中没有红球的概率(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率(3)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望思路:本题这三问的关键在于所取球中红球的个数,考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和,所以可将红球总数进行分配,从而得到每个盒中出红球的情况,进而计算出概率(1)设事件为“甲盒中取出个红球”,事件为“乙盒中取出个红球”则设事件为“4个球中没有红球”则(2)设事件为“4个球中恰有1个红球”(3)可取的值为 的分布列为:例3:甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球(1)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(2)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记成功取法次数为随机变量,求的分布列和数学期望解:(1)设事件为“两只手中所取的球颜色不同”,则为“两只手中所取的球颜色相同”(2)可取的值为左手取球成功的概率右手取球成功的概率 的分布列为例4:袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球,白球数量是红球数量的两倍,每次从袋中摸出一个球,然后放回,若累计3次摸到红球则停止摸球,否则继续摸球直到第5次摸球后结束(1)求摸球四次就停止的事件发生的概率(2)记摸到红球的次数为,求随机变量的分布列及其期望(1)思路:本题为有放回摸球,可理解为独立重复试验,如果摸球四次就停止,说明在这四次中一共摸到3次红球,且前三次有两次摸到红球,第四次又摸到红球。通过红白球数量关系可知一次摸球中摸到红球的概率为,然后可按照分析列式并求出概率。解:设事件为“摸球四次即停止摸球“解:依题意可得:在一次摸球中,摸到红球的概率为(2)思路:可知可取的值为,当时,摸球是通过完成5次后停止,所以可利用独立重复试验模型计算概率;当时,按照规则有可能摸球提前结束,所以要按摸球的次数(3次,4次,5次)分类讨论后再汇总解:可取的值为 的分布列为:例5:某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖(1)求分别获得一、二、三等奖的概率;(2)设摸球次数为,求的分布列和数学期望解:(1)设为“获得等奖”(2)摸球次数可取的值为 的分布列为:例6:学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球,2个黑球;乙箱子里面装有1个白球,2个黑球;这些球除了颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中 摸出3个白球的概率 获奖的概率(2)求在三次游戏中获奖次数的分布列与期望(1)思路:本题的结果实质上是一个“拼球”的过程,即两个箱子各自拿球,然后统计白球的个数。则:若摸出3个白球,则情况为甲2乙1。:若获奖,则白球个数不少于2个,可分成白球有3个或有2个两种情况,分别求出概率再求和即可解:设为“甲箱子里取出个白球”,为“乙箱子里取出个白球” 设事件为“摸出3个白球” 设事件为“获奖”(即白球不少于2个) (2)思路:三次游戏可视为独立重复试验,所以获奖次数服从二项分布,由(1)可得 ,从而可利用公式计算概率,列出分布列解:可取的值为,依题意可得: 的分布列为:例7:一个袋子中装有6个红球和4个白球,假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。(1)从袋子中任意摸出3个球,求摸出的球均为白球的概率;(2)一次从袋子中任意摸出3个球,若其中红球的个数多于白球的个数,则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回),某人连续摸了3次,记“摸球成功”的次数为,求的分布列和数学期望。(1)思路:此问可用古典概型解决,事件为“10个球中任意摸出3个球”,则,所求事件为“均是白球”,则,从而 解:设事件为“3个球均为白球“(2)思路:按题目叙述可知对于摸3次球,由于是有放回的摸,所以相当于独立重复试验,结合的含义可知服从二项分布。但“摸球成功”的概率还未知,所以先根据“摸球成功”的要求利用古典概型计算出一次成功的概率,再通过二项分布的公式计算的分布列即可解:设事件为“一次摸球成功”的取值为,依题意可得: 的分布列为:例8:袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等.(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;(2)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量X的分布列和数学期望.(1)思路:本题的特点在于每个编号都有3个球,若将这12个球视为不同元素,则可利用古典概型进行计算,设为“12个球中任取3个”,则,事件为“三个球数字各不相同”,则计数时第一步要先选出不同的三个编号,即,然后每个编号中都有3个小球可供选择,即,所以。进而可计算出解:设事件为“三个球数字各不相同”(2)思路:依题意可知的取值为,依然用古典概型解决,但要明确取每个值时所代表的情况:当时,只能3个球均为1号球;当时,说明至少有一个2号球,其余的用1号球组成,即,或者使用间接法:从1,2号共6个球中先随意取三个,再减去不含2号球的情况,即个,同理可得:时,至少有一个3号球,其余的球为1,2号球,所以由个,时,至少有一个4号球,其余的球为1,2,3号球,所以由个,进而求得概率得到分布列解:的取值为 的分布列为:例9:一个盒子中装有大小相同的小球个,在小球上分别标有的号码,已知从盒子中随机的取出两个球,两球的号码最大值为的概率为,(1)盒子中装有几个小球?(2)现从盒子中随机的取出4个球,记所取4个球的号码中,连续自然数的个数的最大值为随机变量(如取2468时,;取1246时,取1235时,)(1)思路:以两球号码最大值为的概率为入手点,则该叙述等价于“取出一个号球和一个其它号码球的概率为,从而利用古典概型列出关于的方程并解出解:设事件为“两球号码最大值为”即 解得:(2)思路:由(1)可得小球的编号为,结合所给的例子可知的取值为,其概率可用古典概型计算。代表所取得数两两不相邻,可能的情况有, 共5种;表示只有一对相邻的数或两对相邻的数(两队相邻的数之间不再相邻);表示有三个相邻的数,与另一个数不相邻;表示四个数均相邻,共5个。由于包含情况较复杂,所以可以考虑算出其他情况的概率再用1减即可。解:的取值为 的分布列为:例10:袋中装有35个球,每个球上分别标有的一个号码,设号码为的球重克,这些球等可能的从袋中被取出(1)如果任取1球,试求其重量大于号码数的概率(2)如果不放回任意取出2球,试求它们重量相等的概率(3)如果取出一球,当它的重量大于号码数,则放回,将拌均匀后重取;当它的重量小于号码数时,则停止取球,按照以上规则,最多取球3次,设停止之前取球次数为,求的分布列和期望思路:(1)本题的球重与编号存在函数关系,要解得重量大于号码数的概率,先要判断出在35个球中,那些球的重量大于号码数,即解不等式,可解出或,所以的解集为共30个数,所以取出球重量大于号码数的概率为解:设事件为“取1球其重量大于号码数”若球重量大于号码数,则,解得:或的取值集合为,共30个元素(2)思路:不妨设取出的球的编号为,从而,可推得:,从而取出球的组合为共4组,所以概率为解:设所取球的编号为,依题意可得: 取出球的组合为设事件为“取出2球重量相等”(3)思路:依题意可知:可取的值为,由(1)可知球重量大于号码的概率为,因为是可放回的抽取,所以每次抽取为独立重复试验。当时,可知取出的球重量小于号码数;当时,则第一次取出的球比号码数大,第二次取出的球比号码数小;当时,则前两次取出的球比号码数大(无论第三次如何都终止取球),从而求出概率得到分布列解:可取的值为,由(1)可知取出球重量大于号码的概率 的分布列
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