第六节立体几何中的综合问题(对应学生用书第140页)考点1线面位置关系与体积计算转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行(2)从解题方法上讲,由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行(3)求几何体的体积也常用转化法如三棱锥顶点和底面的转化,几何体的高利用平行、中点,比例关系的转化等(2019郑州模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PAD是等腰直角三角形,且APD90,ABC90,ABCD,AB2CD2BC8,平面PAD平面ABCD,M是PC的三等分点(靠近C点处)(1)求证：平面MBD平面PAD；(2)求三棱锥DMAB的体积解(1)证明：由题易得BDAD4,AB2AD2BD2,BDAD.平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BD平面ABCD,BD平面PAD.又BD平面MBD,平面MBD平面PAD.(2)过点P作POAD交AD于点O(图略),平面PAD平面DAB,平面PAD平面DABAD,PO平面DAB,点P到平面DAB的距离为PO2.VDMABVMDABSDABPO(4)22.解答本例第(2)问时,利用比例关系求出点M到平面ABCD的距离已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直,M为BC中点(1)求证：EM平面ADF；(2)若ABE60,求四面体MACE的体积解(1)证明：四边形ABCD是正方形,BCAD.BC平面ADF,AD平面ADF,BC平面ADF.四边形ABEF是菱形,BEAF.BE平面ADF,AF平面ADF,BE平面ADF.BC平面ADF,BE平面ADF,BCBEB,平面BCE平面ADF.EM平面BCE,EM平面ADF.(2)取AB中点P,连接PE.在菱形ABEF中,ABE60,AEB为正三角形,EPAB.AB2,EP.平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEFAB,EP平面ABCD,EP为四面体EACM的高VMACEVEACMSACMEP12.考点2平面图形的翻折问题解决平面图形翻折问题的步骤(2019全国卷)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB1,BEBF2,FBC60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.图1图2(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解(1)证明：由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC60,得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE1,EM,故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.(1)解答本例第(1)问的关键是折叠后ADBE,CGBE不变(2)解答本例第(2)问的关键是,根据DE平面BCGE,四边形BCGE是菱形找出四边形ACGD的高教师备选例题如图1,在平面五边形ABCDE中,ABCE,且AE2,AEC60,CDED,cosEDC.将CDE沿CE折起,使点D到P的位置,且AP,得到如图2所示的四棱锥PABCE.图1图2(1)求证：AP平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证：ABl.证明(1)在CDE中,CDED,cosEDC,由余弦定理得CE2.连接AC,AE2,AEC60,AC2.又AP,在PAE中,AP2AE2PE2,即APAE.同理,APAC.ACAEA,AC平面ABCE,AE平面ABCE,AP平面ABCE.(2)ABCE,且CE平面PCE,AB平面PCE,AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl,ABl.(2019济南模拟)如图1所示,在等腰梯形ABCD中,ABCD,BAD45,AB2CD4,点E为AB的中点将ADE沿DE折起,使点A到达P的位置,得到如图2所示的四棱锥PEBCD,点M为棱PB的中点图1图2(1)求证：PD平面MCE；(2)若平面PDE平面EBCD,求三棱锥MBCE的体积解(1)证明：在题图中,BEABCD,且BECD,四边形EBCD是平行四边形,如图,连接BD,交CE于点O,连接OM,O是BD的中点,又点M是棱PB的中点,OMPD,PD平面MCE,OM平面MCE,PD平面MCE.(2)在题图中,EBCD是平行四边形,DEBC,四边形ABCD是等腰梯形,ADBC,ADDE,BAD45,ADDE,如图,PDDE,又平面PDE平面EBCD,且平面PDE平面EBCDDE,PD平面EBCD.由(1)知OMPD,OM平面EBCD,在等腰直角三角形ADE中,AE2,ADDE,OMPDAD,SBCESADE1,三棱锥MBCE的体积VMBCESBCEOM.考点3线面位置关系中的存在性问题存在性问题的一般解题方法先假设其存在,然后把这个假设作为已知条件,和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算在推理论证和计算无误的前提下,如果得到了一个合理的结论,则说明存在；如果得到了一个不合理的结论,则说明不存在而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明(2019北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60,求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE？说明理由解(1)证明：因为PA平面ABCD,所以PABD.因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.又PAACA,所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.又ABPAA,所以AE平面PAB.因为AE平面PAE,所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F,使得CF平面PAE.取PB的中点F,PA的中点G,连接CF,FG,EG,则FGAB,且FGAB.因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CEAB,且CEAB.所以FGCE,且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.解答本例第(3)问的难点在于如何探索出点F是PB的中点,可结合点E是CD的中点,CF平面PAE探求教师备选例题如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD为正方形,BCPD2,E为PC的中点,CB3CG.(1)求证：PCBC；(2)AD边上是否存在一点M,使得PA平面MEG？若存在,求出AM的长；若不存在,请说明理由解(1)证明：因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.因为四边形ABCD是正方形,所以BCCD.又PDCDD,PD平面PCD,CD平面PCD,所以BC平面PCD.因为PC平面PCD,所以PCBC.(2)连接AC,BD交于点O,连接EO,GO,延长GO交AD于点M,连接EM,则PA平面MEG.证明如下：因为E为PC的中点,O是AC的中点,所以EOPA.因为EO平面MEG,PA平面MEG,所以PA平面MEG.因为OCGOAM,所以AMCG,所以AM的长为.(2018全国卷)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD？说明理由解(1)证明：由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCMC,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下：如图,连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.- 8 -