指导一 数学思想融会贯通第1讲函数与方程思想、数形结合思想一函数与方程思想函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决的思想构建方程或方程组,通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想函数思想与方程思想密切相关方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0,通过方程进行研究,方程f(x)a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系函数与方程思想在函数、不等式中的应用例1(2019烟台三模)已知f(x)log2x,x2,16,对于函数f(x)值域内的任意实数m,使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A(,2B2,)C(,22,)D(,2)(2,)解析D因为x2,16,所以f(x)log2x1,4,即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立,即为m(x2)(x2)20恒成立设g(m)(x2)m(x2)2,则此函数在区间1,4上恒大于0,所以即解得x2或x2.函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解活学活用1(2019贵阳三模)设0a1,e为自然对数的底数,则a,ae,ea1的大小关系为()Aea1aaeBaeaea1Caeea1a Daea1ae解析：B设f(x)exx1,x0,则f(x)ex1,f(x)在(0,)上是增函数,且f(0)0,f(x)0,ex1x,即ea1a.又yax(0a1)在R上是减函数,得aae,从而ea1aae.函数与方程思想在数列中的应用例2(2020兰州模拟)设an是首项为a1,公差为1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值_解析an为等差数列,则S44a16d4a16,S22a11,S1a1.又SS1S4知,(2a11)2a1(4a16),a1.答案1应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时,根据题中的条件,列出关于首项和公差(或公比)的方程组,通过解方程组求出数列的首项和公差(或公比),再根据等差(或等比)数列的通项公式写出an.2根据题目条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路活学活用2已知数列an满足a133,an1an2n,则的最小值为_解析：ananan1an1an2a2a1a12(n1)2(n2)2332(12n1)33(n1)n33,故n1.注意到对勾函数的单调性,易得n5或n6时,最小,而,故最小值为.答案：二数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的利用数形结合思想研究函数的零点例1已知函数f(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析D函数f(x)恰有3个零点,则3a在x2时有且只有一个实数根,且ex在(2,0)上有两个不相等的实数根由3a在x2时有且只有一个实数根,得23a1,即a；ex在(2,0)上有两个不相等的实数根,可转化为axex在(2,0)上有两个不相等的实数根,令g(x)xex,则g(x)ex(x1),当x(2,1)时,g(x)0,当x(1,0)时,g(x)0,所以函数g(x)在(2,1)上单调递减,在(1,0)上单调递增,当2x0时,函数g(x)的大致图象如图所示,所以当g(1)ag(2),即a时,axex在(2,0)上有两个不相等的实数根综上,当a时,函数f(x)恰有3个零点,故选D.利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合活学活用1已知函数f(x)函数g(x)是周期为2的偶函数且当x0,1时,g(x)2x1,则函数yf(x)g(x)的零点个数是()A5 B6C7 D8解析：B在同一坐标系中作出yf(x)和yg(x)的图象如图所示,由图象可知当x0时,有4个零点,当x0时,有2个零点,所以一共有6个零点应用数形结合求解不等式、参数问题例2设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析设F(x)f(x)g(x),由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x),即F(x)在R上为奇函数又当x0时,F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0,所以x0时,F(x)为增函数因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x0时,F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以,由图象可知F(x)0的解集是(,3)(0,3)答案(,3)(0,3)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答活学活用2当x(1,2)时,(x1)2logax恒成立,则实数a的取值范围是_解析：由题意可知a1,在同一坐标系内作出y(x1)2,x(1,2)及ylogax的图象,若ylogax过点(2,1),得loga21,所以a2.根据题意,函数ylogax,x(1,2)的图象恒在y(x1)2,x(1,2)的上方,所以1a2.答案：(1,2利用数形结合求最值问题例3(1)(2019泉州三模)记实数x1,x2,xn中最小数为minx1,x2,xn,则定义在区间0,)上的函数f(x)minx21,x3,13x的最大值为()A5 B6C8 D10解析C在同一坐标系中作出三个函数yx21,yx3,y13x的图象如图：由图可知,在实数集R上,minx21,x3,13x为yx3上A点下方的射线,拋物线AB之间的部分,线段BC,与直线y13x点C下方的部分的组合图显然,在区间0,)上,在C点时,yminx21,x3,13x取得最大值解方程组得点C(5,8)所以f(x)max8.(2)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0),B(m,0)(m0)若圆C上存在点P,使得APB90,则m的最大值为()A7 B6C5 D4解析B根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r1,且|AB|2m.因为APB90,连接OP,易知|OP|AB|m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5,所以|OP|max|OC|r6,即m的最大值为6.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题,应分析各个变量的变化过程,找出其中的相互关系求解(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式,主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离活学活用3(2019南昌三模)若x,y满足约束条件则的最大值为_解析：画出可行域,如图所示,z表示可行域内的点和定点F(6,6)连线的斜率,显然直线AF的斜率最大,kAF3,即的最大值是3.答案：3第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略,对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度由概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(2020山师附中模拟)已知函数f(x)若f(2a)1,则f(a)等于()A2B1C1 D2解析A当2a2,即a0时,22a211,解得a1,则f(a)f(1)log23(1)2；当2a2即a0时,log23(2a)1,解得a,舍去所以f(a)2.故选A.(2)(2020阜阳模拟)等比数列an中,a1a4a72,a3a6a918,则an的前9项和S9_.解析由题意得q29,q3,当q3时,a2a5a83(a1a4a7)6,S9261826；当q3时,a2a5a83(a1a4a7)6,S9261814,所以S914或26.答案14或26数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义,直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；(2)由除法运算中除数不为零,不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论活学活用1已知函数f(x)axb(a0,a1)的定义域和值域都是1,0,则ab_.解析：当a1时,函数f(x)axb在1,0上为增函数,由题意得无解当0a1时,函数f(x)axb在1,0上为减函数,由题意得解得所以ab.答案：由图形位置或形状引起的分类讨论例2(2019泉州三模)若双曲线1的渐近线方程为yx,则m的