资源预览内容
第1页 / 共5页
第2页 / 共5页
第3页 / 共5页
第4页 / 共5页
第5页 / 共5页
亲,该文档总共5页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第3讲 圆锥曲线的综合应用限时60分钟满分60分解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分)1已知椭圆C:1(ab0)经过点M(2,1),且离心率e.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B分别是椭圆C的上顶点、右顶点,点P是椭圆C在第一象限内的一点,直线AP,BP分别交x轴,y轴于点M,N,求四边形ABMN面积的最小值解析:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算(1)由离心率及c2a2b2得a,b的关系,再把已知点代入即可求出标准方程;(2)设出点P的坐标,得到直线AP,BP的方程,从而表示出点M,N的坐标,进而得到|AN|BM|,最后利用S四边形ABMNSOMNSOAB及基本不等式求面积的最小值(1)由椭圆的离心率为得,又c2a2b2,a2b.又椭圆C经过点(2,1),1,解得b22,椭圆C的方程为1.(2)由(1)可知,A(0,),B(2,0),设P(x0,y0)(0x02,0y0),则直线AP:yx,从而M.直线BP:y(x2),从而N.1,|AN|BM|8.S四边形ABMNSOMNSOAB(|OM|ON|OA|OB|)(|BM|2|AN|8)(|BM|2|AN|)44244(O为坐标原点),当且仅当|BM|4,|AN|2时取得最小值2已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,上顶点M到直线xy40的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l过点(4,2),且与椭圆C相交于A,B两点,l不经过点M,证明:直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值解:本题主要考查椭圆与直线的交汇,考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算(1)由题意可得,解得,所以椭圆C的方程为1.(2)易知直线l的斜率恒小于0,设直线l的方程为y2k(x4),k0且k1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得,得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0,则x1x2,x1x2,因为kMAkMB,所以kMAkMB2k(4k4)2k4(k1)2k(2k1)1(为定值)3(2019淮南三模)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,直线4x3y50与以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆C的标准方程;(2)若A为椭圆C的下顶点,M,N为椭圆C上异于A的两点,直线AM与AN的斜率之积为1.求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标;若O为坐标原点,求的取值范围解析:(1)由题意可得离心率e,又直线4x3y50与圆x2y2b2相切,所以b1,结合a2b2c2,解得a,所以椭圆C的标准方程为x21.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知A(0,),又直线AM与AN的斜率之积为1,所以1,即有x1x2y1y2(y1y2)3,由题意可知直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN:ykxt(k0),代入椭圆方程,消去y可得(3k2)x22ktxt230,所以x1x2,x1x2,y1y2k(x1x2)2t2t,y1y2k2x1x2kt(x1x2)t2k2ktt2,所以3,化简得t23t60,解得t2(舍去),则直线MN的方程为ykx2,即直线MN恒过定点,该定点的坐标为(0,2)由可得x1x2y1y2,由(3k2)x22ktxt230,可得4k2t24(t23)(3k2)48k236(3k2)0,解得k29.令3k2m,则m12,且k2m3,所以3,由m12,可得33.则的取值范围是.4(2019浙江卷)如图,已知点F(1,0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧记AFG,CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求的最小值及此时点G的坐标解:(1)由题意得1,即p2.所以,抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xc,yc),重心G(xG,yG)令yA2t,t0,则xAt2.由于直线AB过F,故直线AB的方程为xy1,代入y24x,得y2y40,故2tyB4,即yB,所以B.又由于xG(xAxBxC),yG(yAyByC)及重心G在x轴上,故2tyC0,得C,G.所以,直线AC的方程为y2t2t(xt2),得Q(t21,0)由于Q在焦点F的右侧,故t22.从而2.令mt22,则m0,2221.当m时,取得最小值1,此时G(2,0)5(2019北京卷)已知拋物线C:x22py经过点(2,1)(1)求拋物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M,N,直线y1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解析:本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力(1)将点(2,1)代入抛物线方程:222p(1)可得:p2,故抛物线方程为:x24y,其准线方程为:y1.(2)很明显直线l的斜率存在,焦点坐标为(0,1),设直线方程为ykx1,与抛物线方程x24y联立可得:x24kx40.故:x1x24k,x1x24.设M,N,则kOM,kON,直线OM的方程为yx,与y1联立可得:A,同理可得B,易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:,圆的半径为:,且:2k,22,则圆的方程为:(x2k)2(y1)24(k21),令x0整理可得:y22y30,解得:y13,y21,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,3),(0,1)- 5 -
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号