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河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,若复数(是虚数单位)的实部为,则的值为( )A B C1 D-12.函数的图象在点处的切线方程为( )A B C D3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时,假设正确的是( )A假设三内角都不大于 B假设三内角都大于 C假设三内角至多有一个大于 D假设三内角至多有两个大于4.已知为虚数单位,若复数()的模为该复数的实数的倍,则( )A0 B-4 C. 1或-1 D15.由抛物线和直线所围成的封闭图形的面积等于( )A1 B C. D6.函数的定义域为,导函数在内的图象如图所示,则函数在内有极小值点( )A1个 B2个 C.3个 D4个7.(选修4-4:参数方程选讲)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以射线为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程是,则直线与曲线相交所得的弦的长为( )A B C. D(选修4-5:不等式选讲)已知不等式对任意正实数恒成立,则的最小值为( )A8 B6 C.4 D28.郑州市了为缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行,某公司有五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶,已知车周四限行,车昨天限行,从今天算起,两车连续四天都能上路行驶,车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是( )A今天是周六 B今天是周四 C. 车周三限行 D车周五限行9.若函数在单调递增,则的取值范围是( )A B C. D10.若函数在内有极小值,则实数的取值范围是( )A B C. D11.给出下面类比推理(其中为有理数集,为实数集,为复数集):“若,则”类比推出“,则”“若,则复数”类比推出“,则”;“,则”类比推出“若,则”;“若,则”类比推出“若,则”其中类比结论正确的个数为( )A1 B2 C.3 D412.对于函数和,设,若存在使得,则称和互为“友邻函数”,若函数与互为“友邻函数”,则实数的取值范围是( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.一质点沿直线运动,如果由始点起经过秒后的位移为,那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 14.有一个奇数列,现在进行如下分组:第一组含一个数,第二组合含两个数;第三组含三个数;第四组含四个数;则观察每组内各数之和与组的编号数的关系式为 15.(选修4-4:参数方程选讲)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,则在直角坐标系下曲线的方程为 (选修4-5:不等式选讲)若则的最小值为 16.定义在上的函数满足:,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (1)设(是虚数单位),求的值.(2)设,复数,且满足,试求的值.18. 求由曲线,所围成的封闭图形的面积.19. 已知,(1)当时,试比较与的大小关系;(2)猜想与的大小关系,并给出证明.20. 设函数,.(1)若关于的方程有3个不同实根,求实数的取值范围;(2)已知当时,恒成立,求实数的取值范围.21. 已知函数().(1)当时,求的单调区间和极值;(2)若,且,证明:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.(1)求圆的直角坐标方程;(2)设圆与直线交于点,求的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知不等式.(1)若,求不等式的解集;(2)若已知不等式的解集不是空集,求的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CCBAB 6-10: ACBCD 11、12:BD二、填空题13. 0 14. 15. (选修4-4) ;(选修4-5) 16. 三、解答题17.(1)(2)将代入,得,18.解:19.解:(1)当时,所以;当时,所以;当时,所以(2)由(1)猜想,下面用数学归纳法给出证明.当时,不等式显然成立.假设当时不等式成立.即那么,当时,因为所以由可知,对一切,都有成立.20.解:(1),令,得,当或时,;当时,的单调递增区间是和,单调递减区间是当,有极大值;当,有极小值.可知图象的大致形状及走向当时,直线与的图象有3个不同交点,即当时方程有三解.(2)即,在上恒成立.令,由二次函数的性质,在上是增函数, ,所求的取值范围是21.解:(1),时,因为,所以函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值;当时,令,解得,当时,;当,.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是,在区间上的极小值为,无极大值.(2)因为,由(1)知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,不妨设,则,要证,只要证,即证因为在区间上单调递增,所以,又,即证,构造函数,即,.,因为,所以,即,所以函数在区间上单调递增,故,而,故,所以,即,所以成立.22.解:(1)由得,化为直角坐标方程为,即所以圆的直角坐标方程为.(2)将的参数方程代入圆的直角坐标方程,得,由已知得,所以可设是上述方程的两根,则,.所以的最小值为.23.解:(1)当时,不等式即为,若,则,舍去;若,则,;若,则,综上,不等式的解集为.(2)设,则作出函数的图象,如图所示:由图象可知,即的取值范围为
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