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石室中学高2019届20182019学年上期入学考试数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则A B C D 2.设集合,若全集,则A B C D3.命题“,”的否定是A, B,C, D ,4.在如图的程序框图中,若输入,则输出的的值是A3 B7 C11 D335.在区间0,2上随机取一个数x,使的概率为A B C D 6. 九章算术中,将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该 “堑堵”的体积为A. 2 B. C. 1 D. 7.已知等比数列an的前n项和为Sn,且,则A B C D8.已知函数是定义域为的奇函数,且当时,则下列结论正确的是A. B. C. D. 9已知约束条件为,若目标函数取最大值时的最优解有无数多个,则的值为A. B. C. D. 或10.已知抛物线的一条弦经过焦点为坐标原点,点在线段上,且,点在射线上,且,过 向抛物线的准线作垂线,垂足分别为,则的最小值为A4 B6 C8 D1011.向量满足:,在上的投影为4,则的最大值是A. 24 B. C. D. 12已知函数,若关于的不等式有且只有一个正整数解,则实数的最大值为AB CD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等,则展开式中的常数项为 14. 直线过双曲线 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点,则C的离心率为 15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若则球O的直径为 16.函数,已知在区间恰有三个零点,则的范围为 .三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分 17.(本小题满分12分)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成如下频率分布直方图,已知实体店与网店销售量相互独立.()若将上述频率视为概率,已知实体店每天销售量不低于50件可盈利,网店每天销量不低于45件可盈利,求任取一天,实体店和网店都盈利的概率;()根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值(精确到0.01)()若将上述频率视为概率,记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为,求随机变量的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图,在中,内角的对边分别为,已知 分别为线段上的点,且,(I)求线段的长;(II)求的面积19.(本小题满分12分)直播答题是最近很热门一款游戏,其答题规则如下:每次都有12道题,每题三个选项中恰有一个正确选项,若中途答错,则退出游戏,若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展,平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑,某网站随机选取1000名网民进行了调查,得到的数据如下表:男女认为直播答题模式可持续360280认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据,能否在犯错误不超过的前提下,认为对直播答题模式的态度与性别有关系?(II)随着答题的发展,某平台推出了复活卡,每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活,即默认此题回答正确,并可接着回答下一题,但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡,在某期的答题游戏中,前8个题都会,第九题到第十二题都不会,他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数的分布列,并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式: 临界值表:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(本小题满分12分)如图为坐标原点,圆 点 ,以线段为直径的圆内切于圆O,切点为P,记点M的轨迹为曲线C.(I)证明:为定值,并求曲线C的方程;(II)设Q为曲线C上的一个动点,且Q在轴的上方,过作直线,记与曲线C的上半部分交于点,求四边形面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数,其中.(I)若,讨论的单调区间;(II)若的两根为,且,证明:.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分 22选修44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线,曲线,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系(I)求曲线的极坐标方程;(II)射线分别交 于两点,求的最大值23选修4-5:不等式选讲 已知函数(I)解不等式;(II)设函数的最小值为c,实数a,b满足,求证:石室中学高2019届20182019学年上期入学考试数学参考答案(理科)1-5:CBBCA 6-10:ADDBA 11-12:CA13、-20 14、 15、13 16、17解:()由题意,任取一天,实体店盈利的概率网店盈利的概率 由实体店和网店销售量相互独立,故任取一天,实体店和网店都盈利的概率 .3分()因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于的直方图面积为,销售量低于的直方图面积为故网店销售量的中位数的估计值为(件)6分()由题意,实体店销售量不低于40件的概率7分故,的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为, , ,分布列为012311分因为,所以期望为.12分18.解:(1)根据题意,则;又由,解可得即,则,在中,由余弦定理得:,则;(6分)(2)根据题意,平分,则,变形可得:,则,(12分)19、解析:(I)依题意,的观测值,故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为对直播大题模式的态度与性别有关系;5分()由题意的取值为,且后四个题每个题答对的概率为.6分;.故的分布列为1011129分记该网友当期可平分奖金为事件,则.故该网友当期可平分奖金的概率为. 12分20、解:(1)由题知:O,P,N三点共线,连 则 ,所以点M的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,其中,则动点M的轨迹方程是 4分(2)如图:6分因为不与y轴垂直,设PR:, 所以消去x有:由弦长公式可得:又因为点到直线的距离所以S10分因为,所以(当等号成立)所以12分21、解:()由已知得,所以,2分当时,;当时,3分故若,的单调递增区间为,单调递减区间为;若,的单调递减区间为,单调递增区间为5分()依题意, ,同理,由-得,7分,8分要证,即证:,即证:,9分令,即证,10分在区间上单调递增,成立故原命题得证12分22. 解:(1) 因为 ,所以 的极坐标方程为 ,因为 的普通方程为 ,即 ,对应极坐标方程为 5分 (2)因为射线,则 ,则,所以 又 ,所以当 ,即 时, 取得最大值 10分23、解:当时,不等式可化为,又,;当时,不等式可化为,又,当时,不等式可化为,又,综上所得,原不等式的解集为(5分)()证明:由绝对值不等式性质得,即令,则,原不等式得证(10分)
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