. . .时域离散信号和系统的频域分析信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z变换和序列傅立叶变换法。Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。22 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）一、序列傅立叶变换：正变换：DTFTx(n)= （2.2.1）反变换：DTFT-1式（2.2.1）级数收敛条件为|= (2.2.2) 上式称为x(n)绝对可和。这也是DTFT存在的充分必要条件。当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。二、序列傅立叶变换的基本性质：1、 DTFT的周期性 ，是频率w的周期函数，周期为2p。 = 。问题1：设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT。 =设N为4，画出幅度与相位曲线。2、 线性设=DTFTx1(n)，=DTFTx2(n)，则：DTFTa x1(n)+b x2(n)= = a+b3、 序列的移位和频移设 = DTFTx(n)，则：DTFTx(n-n0) = = DTFTx(n) = = = 4、 DTFT的对称性共轭对称序列的定义：设序列满足下式 则称为共轭对称序列。 共轭对称序列的性质： 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数 证明：=+j（实部加虚部） +j=-j =（偶函数） =（奇函数）一般情况下，共轭对称序列用表示：共轭反对称序列的定义：设序列满足下式 则称为共轭反对称序列。 共轭反对称序列的性质： 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数 证明：=+j（实部加虚部） +j=+j =（奇函数） =（偶函数）一般情况下，用来表示一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。即：x(n)= + (2.2.16)问题1： =？=+= (2.2.17) =(+)=() 对于频域函数，也可分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：式中，是共轭对称分量，是共轭反对称分量，它们满足： =，=且： ：共轭对称分量，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；：共轭反对称分量，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。下面研究DTFT的对称性，按下面两部分进行分析a） 将序列x(n)分成实部与虚部，即：=+j（、都是实数序列） 则：式中：=DTFT=， =DTFTj=j。结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应于中的，虚部和j一起对应于中的。b） 将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分，x(n)= + =(+)=() 将上面两式分别进行DTFT，得到： DTFT=(+)=Re= DTFT=()=jIm=j =+j x(n)= + 结论：序列的共轭对称部分对应于的实部，而序列的共轭反对称部分对应于的虚部加j。应用：利用DTFT的对称性讨论当h(n)是实序列时，其DTFT的特性。h(n)是实序列，所以它所对应的DTFT：=，具有共轭对称性，的实部偶对称，虚部奇对称。 5、 时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则：= (2.2.32)证明：y(n)= x(n)*h(n)= =DTFTy(n)= =6、 频域卷积定理设y(n) = x(n) h(n)则=*= =证明：=* 7、 Parseval(帕斯维尔)（帕塞瓦尔）定理= (2.2.34)证明：= =25 Z变换的定义与收敛域一、 Z变换的定义若序列为x(n)，则幂级数 （2.5.1）称为序列x(n)的Z变换，也称为双边Z变换。式中z为复变量，它所在的复平面称为z平面。亦可将x(n)的Z变换表示为ZTx(n) = X(z) 二、Z变换的收敛域我们知道，是一幂级数，只有收敛时Z变换才有意义。X(z)收敛的条件是： (2.5.3)X(z)能够收敛的z取值集合称为X(z)的收敛域。一般收敛域用环状域表示。即： Z变换的公式 （2.5.1）常见的Z变换是一个有理函数，表示为： 分子多项式的根是的零点，分母多项式的根是的极点。在极点处Z变换不存在。因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。1、 有限长序列Z变换的收敛域有限长序列是指在有限区间n1nn2之间序列具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。有限长序列Z变换为，所以收敛域为0|z|。如n10，收敛域为0|z|。如n20，收敛域为0|z|。2、 右边序列Z变换的收敛域右边序列是指在nn1时，x(n)有值，在nn1时， x(n)=0。其Z变换为此式右端第一项为有限长序列的Z变换，它的收敛域为0|z|，而第二项是z的负幂级数，它的收敛域为。综合此两项，只有两项都收敛时级数才收敛。所以右边序列Z变换的收敛域为。因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。收敛域为（也可以写成），所以，|z|=处Z变换收敛是因果序列的特征。3、 左边序列Z变换的收敛域左边序列是指在nn2时，x(n)有值，nn2时，x(n)=0。其Z变换为 此式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为0|z|，第一项是正幂级数，收敛域为0|z|Rx+。综合此两项，只有两项都收敛时级数才收敛，所以左边序列Z变换的收敛域为0|z|Rx+。4、 双边序列Z变换的收敛域这类序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。双边序列的收敛域为问题1：求序列x(n)= RN(n)的Z变换及收敛域，并画出收敛域。解：X(z)=。因为这是有限长序列，所以收敛域为0|z|。思考：RN(n)的DTFT存在吗？问题2：x(n)=anu(n)，求其Z变换及收敛域，并画出收敛域。解：这是右边序列，且是因果序列，其Z变换为X(z)=。收敛域为（或写成）思考：anu(n)的DTFT存在吗？问题3：x(n)=-anu(-n-1)，求其Z变换及收敛域，并画出收敛域。解：这是一个左边序列。其Z变换为 ，收敛域为0|z|a|（或写成|z|a|）。 思考：-anu(-n-1)的DTFT存在吗？结论：当Z变换的收敛域中包含单位圆时，用Z变换可求出DTFT。 = （2.5.4）上式称为单位圆上的Z变换就是离散时间傅立叶变换。回顾：观察零极点。结论：零点可以在复平面的任意处，但极点在收敛域的边缘或收敛域的外面。2.5.3 Z反变换已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为Z反变换。表示为x(n)=ZT-1X(z) 其中，c是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线。求Z反变换的方法通常有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和长除法。一、 围线积分法（留数法）直接计算围线积分比较麻烦，一般都采用留数定理来求解。按留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点zk，则有（2.5.6） 设zr是X(z)zn-1的单极点，则根据留数定理： 如果zk是L阶极点，则根据留数定理，（2.5.8） (2.5.8)表明，对于L阶极点，需要求L-1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点时，可根据留数辅助定理改求c外所有极点之和，使问题简单化。 若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm，（K，M为有限值）。现在c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，根据留数辅助定理改求c外所有极点之和。得： （2.5.9） （2.5.9）应用条件是X(z)zn-1在z=有两阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。问题1：已知X(z)=z2/(4-z)(z-1/4)，1/4|z|4，求Z反变换。解： c，c为X(z)的收敛域内的闭合围线。X(z)zn-1=。现在来看在围c内部及外部的分布情况及极点阶数。当时，函数在围线c内z=1/4处有一个一阶极点，z=4处有一个一阶极点，+=，当n=-1时，x(n)=0，x(n)= ，当时，函数 在围线外部没有一个极点，所以采用围线外部的极点较方便。由于围线外部没有一个极点，x(n)=0。x(n)= （）u(n)二、 部分分式展开法对于大多数单极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。X(z)=B(z)/A(z)= X1(z)+ X2(z)+ XK(z)，则= ZT-1X1(z)+ ZT-1 X2(z)+ ZT-1 XK(z)ZT-1X1(z)、ZT-1 X2(z)、ZT-1 XK(z)可从Z变换表中直接查表得出