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绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第卷1至2页,第卷3至5页。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。2本卷共8小题,每小题5分,共40分。参考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)棱柱的体积公式V=Sh球的体积公式其中S表示棱柱的底面面积,其中表示球的半径h表示棱柱的高一选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)设集合,则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】,故选B(2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为(A)(B)1(C)(D)3【答案】D(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为24,则输出的值为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】初始:,进入循环后的值依次为,输出,故选C(4)设,则“”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,但时,不满足,所以“”是“”的充分而不必要条件,故选A(5)已知双曲线的左焦点为,离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由题意得,故选B(6)已知奇函数在R上是增函数,若,则a,b,c的大小关系为(A)(B)(C)(D)【答案】C(7)设函数,其中,若,且的最小正周期大于,则(A),(B),(C),(D),【答案】A【解析】由题意得,其中,所以,又,所以,所以,由得,故选A(8)已知函数设,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是(A)(B)(C)(D)【答案】A当时,(*)式为,又(当时取等号),(当时取等号),所以综上,故选A第卷注意事项:1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12小题,共110分。二填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分(9)已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为_【答案】【解析】为实数,则(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为_【答案】【解析】设正方体的边长为,则,其外接球直径为,故这个球的体积(11)在极坐标系中,直线与圆的公共点的个数为_【答案】2【解析】直线为,圆为,因为,所以有两个交点(12)若,则的最小值为_【答案】(13)在中,若,且,则的值为_【答案】【解析】由题可得,则(14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个(用数字作答)【答案】【解析】三解答题:本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(15)(本小题满分13分)在中,内角所对的边分别为已知,()求和的值;()求的值【解析】()在中,因为,故由,可得由已知及余弦定理,有,所以由正弦定理,得所以,的值为,的值为(16)(本小题满分13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为()设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;()若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率【解析】()随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,所以,随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望()设表示第1辆车遇到红灯的个数,表示第2辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为(17)(本小题满分13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2()求证:MN平面BDE;()求二面角C-EM-N的正弦值;()已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长【解析】如图,以A为原点,分别以,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0)()易知为平面CEM的一个法向量设为平面EMN的法向量,则,因为,所以不妨设,可得因此有,于是所以,二面角C-EM-N的正弦值为(18)(本小题满分13分)已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,()求和的通项公式;()求数列的前n项和【解析】()设等差数列的公差为,等比数列的公比为由已知,得,而,所以又因为,解得所以,由,可得 由,可得 ,联立,解得,由此可得所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为(19)(本小题满分14分)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为()求椭圆的方程和抛物线的方程;()设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点若的面积为,求直线的方程【解析】()设的坐标为依题意,解得,于是所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为()设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故将与联立,消去,整理得,解得或由点异于点,可得点由,可得直线的方程为,(20)(本小题满分14分)设,已知定义在R上的函数在区间内有一个零点,为的导函数()求的单调区间;()设,函数,求证:;()求证:存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且满足【解析】()由,可得,进而可得令,解得或当x变化时,的变化情况如下表:x+-+所以,的单调递增区间是,单调递减区间是令函数,则由()知,在上单调递增,故当时,单调递增;当时,单调递减学科&网因此,当时,可得,即所以,(III)对于任意的正整数,且,令,函数由()知,当时,在区间内有零点;当时,在区间内有零点,所以在内至少有一个零点,不妨设为,则由()知在上单调递增,故,于是因为当时,故在上单调递增,所以在区间上除外没有其他的零点,而,故又因为,均为整数,所以是正整数,从而,所以所以,只要取,就有
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