1 河南省中牟县第一高级中学河南省中牟县第一高级中学 2018 20192018 2019 学年高二数学上学期第十五次学年高二数学上学期第十五次 双周考试题 实验班 双周考试题 实验班 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 复数 为虚数单位 的共轭复数是 2 1 i i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 2 是的 1 sincoscossin 2 2 6 kkz A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 在一次跳伞训练中 甲 乙两位学员各跳伞一次 设命题是 甲降落在指定的范围内 pq 是 乙降落在指定的范围内 则命题 甲乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范 围内 可以表示为 A B C pq pq pq D pq 4 已知等比数列中 则 n a 234 1a a a 678 64a a a 5 a A B C D 2 2 24 5 若曲线在点处的切线方程为 则 ln 1 yaxx 0 0 20 xy a A 1 B C D 1 1 2 1 2 6 已知实数 满足 则的取值范围是 xy 24 48 1 xy xy xy 22 2zxyx A B C D 0 19 1 3 5 1 0 5 1 19 5 7 已知三棱锥中 平面 是中点 则直ABCD AD BCD1ADBDCD EBC 线与所成的角的余弦值是 A B C D AECD 3 2 6 4 6 6 3 2 8 8 在中 角 所对的边分别为 已知 若的ABC ABCabc 10 sin 24 C ABC 面积为 且 则的值为 3 15 4 222 13 sinsinsin 16 ABC c 2 A B C D 2 232 34 9 若抛物线 过其焦点的直线 与抛物线交于两点 则的最小值 2 y4x FlA B2AFBF 为 A 6 B C 9 D 32 2 32 2 10 在中 为锐角 则的形状为 ABC B C sin sinabBcC ABC A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对 11 设双曲线的一个焦点为 过作双曲线的一条渐近线的 22 22 1 0 0 yx Cab ab FFC 垂线 垂足为 且与另一条渐近线交于点 若 则双曲线的离心率为AB32OFOBOA C A B 2 C D 2 2 3 3 14 3 12 已知函数 若是函数唯一的极值点 则实数的取值 3 3 ln x e f xkxkx x 3x f xk 范围为 A B C D 3 27 e 3 27 e 3 0 27 e 3 0 27 e 二 填空题 每题 5 分 满分 20 分 13 定积分的值为 1 2 1 e xxdx 14 研究的公式 可以得到以下结论 cosn 2 2cos2 2cos 2 3 2cos3 2cos 3 2cos 42 24 2cos 4 2cos 2cos 52 25 2cos 5 2cos 5 2cos cos 642 26 2cos 6 2cos 9 2cos 2cos 753 27 2cos 7 2cos 14 2cos 7 2cos cos 以 此 类 推 则 42 28 2cos 2cos 2cos 16 2cos mp cosnqr 3 mnpqr 15 已知直线与圆交于 两点 过 分别作直线 210l kxyk 22 6xy ABABl 的垂线与轴交于 两点 若 则 yCD2 2AB CD 16 已知函数 且 则不等式 yf x 0 2 x 1 62 f tan fxxf x 的解集为 sinf xx 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 在中 角的对边分别为 且成等比数列 的面 ABC A B C a b c60B a b cABC 积为 等差数列的首项 公差为 4 3 n a 1 4a b 1 求数列的通项公式 n a 2 若数列满足 设为数列的前项和 求 n c 1 16 n nn c a a n T n an n T 18 如图 四棱柱中 底面是等腰梯形 1111 ABCDABC D ABCD60DAB 是线段的中点 平面 22ABCD MAB 1 CD ABCD 1 求证 平面 2 若 求平面和平面所成的锐二面AC 1 ADM 1 3CD 11 C D MABCD 角的余弦值 19 已知 2 ln 3f xxx g xxax 1 求函数 f x在 2 0 t tt 上的最小值 2 对一切 0 x 2 f xg x 恒成立 求实数 a 的取值范围 20 已知椭圆的离心率为 是椭圆上一点 22 22 1 0 xy Cab ab 2 2 23 22 M 4 1 求椭圆的标准方程 2 过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点 是直线上任意一点 证明 直线F A BP2x 的斜率成等差数列 PA PF PB 21 已知函数 若是的极值点 1 求在上 1 x f xeaxaR 0 x f x f x 2 1 的最小值 2 若不等式对任意都成立 其中为整数 为 1 x kfxxe 0 x k fx f x 的函数 求的最大值 k 请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线 x 过点的直线 的参数方程为 为参 2 sin2 cos 0 Caa 2 4 P l 2 2 2 2 4 2 xt yt t 数 直线 与曲线分别交于两点 lCMN 1 写出曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程 Cl 2 若成等比数列 求的值 PMMNPNa 23 选修 4 一 5 不等式选讲 已知函数 2 21 f xxax 65 21 x g x x 1 当时 解不等式 3a 6f x 2 若对任意 存在 使得成立 求实数的取值范围 1 5 1 2 x 2 xR 12 g xf x a 5 高二数学试题答案 一 选择题 1 5 ABACB 6 10 DCDBA 11 12 CA 二 填空题 13 14 28 15 16 1 24 3 210 0 6 三 解答题 17 解析 1 由成等比数列得 又因为 a b c 2 bac 1 4 3sin 60 2 ABC SacB B 所以 所以是以 4 为首项 4 为公差的等差数列 所以 4b n a4 n an 2 由 1 可得 111 1 1 n c n nnn 所以 111111 11 22311 n T nnn 18 1 证明方法一 连接 因为底面是等腰梯形且 MCABCD 2ABCD 所以 又因为是的中点因此 且所以 ABCDMAB CDAMCDAM 且又因为且所以 ADCMADCM 11 ADAD 11 ADAD 11 AMCD 因为 平面所以平面所以 平面平面 1 CD ABCD 1 AM ABCD 1 ADM ABCD 在平行四边形中 因为 所以平行四边形是菱形 AMCD 60DAM AMCD 因此所以平面 ACDM AC 1 ADM 解法二 底面是等腰梯形 所以 ABCD60DAB 22ABCD 22 3ABBCAC 因此以为坐标原点建立空间直角坐标系 则 CACB CCxyz 31 3 0 0 0 22 AD 由得 1 3 1 0 0 0 3 22 MD 11 DAD A 1 3 1 3 22 A 所以 3 0 0 CA 0 1 0 DM 0 0 3MA 1 0 0 3 MA 因此 且所以且所以 平面 0CA DM 1 0CA MA CADM 1 CAMA AC 1 ADM 2 底面是等腰梯形 所以 ABCD60DAB 22ABCD 6 22 3ABBCAC 因此以为坐标原点建立空间直角坐标系 则 CACB CCxyz 3 0 0A 0 1 0b 3 1 0 22 M 1 0 0 3D 所以 1 31 3 22 MD 11 3 1 0 22 DCMB 设平面的一个法向量由得 11 C D M nx y z 11 1 30 32 30 n DCxy n MDxyz 1 3 1n 由是平面的法向量因此 1 0 0 3 CD ABCD 1 5 cos 5 n CD 平面和平面所成的锐二面角的余弦值是 11 C D MABCD 5 5 7 19 20 解析 1 1 2 2 2 y x 2 因为右焦点 0 1 F 当直线的斜率不存在时其方程为 AB1 x 因此 设 则 y 1 2 AtP 1 yB 所以且 t ytyt KK PBPA 2 1212 t t KPF 12 0 所以 PFPBPA KKK2 因此 直线和的斜率是成等差数列 PFPA PB 当直线的斜率存在时其方程设为 AB 1 2211 yxByxAxky 8 由得 1 2 1 2 2 y x xky 0224 21 2222 kxkxk 所以 2 2 21 2 2 21 21 22 21 4 k k xx k k xx 因此 22 2 1 2 1 22 2 2 1 1 212 2 1 1 x y x y xx t x yt x yt KK PBPA 2 1 2 1 4 21 22 21 4 24 21 4 4 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2121 21 k k k k k k k k xxxx xx 2 12 2 12 2 1 2 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x k x x x x k x y x y 0 2 2 1 2 1 21 xx k 所以 tKK PBPA 2 又因为 t t KPF 12 0 所以有 PFPBPA KKK2 因此 直线和的斜率是成等差数列 PFPA PB 综上可知直线和的斜率是成等差数列 PFPA PB 21 由是的极值点 得 x fxea 0 x f x 0 0f 1a 易知在上单调递减 在上单调递增 f x 2 0 0 1 所有当时 在上取得最小值 2 0 x f x 2 1 9 由 知 此时 1a 1 x fxe 1 1 1 xxx kfxxek exe 1 0 10 1 x x x xe xek e 令 1 0 1 x x xe g xx e min kg x 2 0 1 xx x e ex g xx e 令 在单调递增 2 x h xex 10 x h xe h x 0 且 在时 1 0h 2 0h h x 0 0g x 0 0 min00 1 1 x x g xg xx e 由 0 00 02 x g xex 00 1 2 3g xx 又 且 所以的最大值为 2 0 kg x kZ k 22 解 曲线的普通方程为 CaxyC2 2 直线 的普通方程为 l02 yx 将直线的参数表达式代入抛物线得 0416 224 2 1 2 atat at tatt832 2228 2121 因为 2121 ttMNtPNtPM 由题意知 21 2 2121 2 21 5 t tttt ttt 代入得 1 a 23 解 1 当时 3 a 1232 xxxf 621 32 2 3 6 xx x xf 或 6 21 32 2 1 2 3 xx x 10 或 6 12 32 2 1 xx x 解得 12 x 即不等式解集为 12 xx 2 1122122 axaxxaxxf 当且仅当时 取等号 0 12 2 xax 的值域为 xf 1a 又在区间上单调递增 12 2 3 12 56 xx x xg 2 5 1 2 5 1 gxgg 即的值域为 要满足条件 必有 xg 2 5 1 1 2 5 1a 解得 11 a 0 2 a 的取值范围为 a 02