2018-2019年江西省抚州临川一中高三10月月考试题文科 数学一、选择题1.已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）A.B.C.D.答案：A解答：因为函数的定义域为；函数的定义域为.而根据集合的运算法则有，所以.2.曲线在点处的切线倾斜角为（ ）A.B.C.D.答案：A解答：，.3.下列说法不正确的是（ ）A.若“且”为假，则、至少有一个是假命题B.命题“，”的否定是“，”C.“”是“为偶函数”的充要条件D.时，幂函数在上单调递减答案：C解答：A.若“且”为假，则、至少有一个是假命题，正确.B.命题“，”的否定是“，”，正确.C.“”是“为偶函数”的充分不必要条件，故C错误.D.时，幂函数在上单调递减，正确.4.已知函数，则（ ）A.B.C.D.答案：D解答：，.5.设在内存在，使，则的取值范围是（ ）A.B.C.或D.答案：C解答：函数为一次函数函数在区间上单调，又存在，使，即计算得出或.6.设函数，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.答案：A解答：函数为增函数并且为奇函数，又，所以，故，因为，所以，故当时，恒成立.7.已知是奇函数，且满足，当时，则在内是（ ）A. 单调增函数，且B. 单调减函数，且C. 单调增函数，且D. 单调减函数，且答案：A解答：函数是奇函数，即函数是周期为的函数.设，则函数在上为增函数，为增函数，则函数为增函数，则函数在上为增函数.函数周期是，函数在上为增函数，若，则，则，即，当，则，则，即函数在内是单调增函数，且.8.已知函数的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为（ ）A.B.C.D.答案：A解答：函数的图象关于轴对称，故令可得，函数在上递减，在上单调递增，在区间上的最大值为.9.设曲线上任一点处切线斜率为，则函数部分图象可以为（ ）A.B.C.D.答案：D解答：由，得.，该函数为奇函数，且当时，所以D选项正确.10.已知函数在区间上至少有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.答案：D解答：在区间上至少有一个零点可以转化为与在区间上至少有一个交点.，在上递减，在上递增.，且，,，故选D.11.关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有个不同的实根不存在实数，使得方程恰有个不同的实根存在实数，使得方程恰有个不同的实根不存在实数，使得方程恰有个不同的实根则其中假命题的个数为（ ）A.B.C.D.答案：A解答：关于的方程可化为或，或.当时，方程的解为，方程无解，原方程恰有个不同的实根；当时，方程有两个不同的实根，方程有两个不同的实根，即原方程恰有个不同的实根；当时，方程的解为，方程的解为，原方程恰有个不同的实根；当时，方程的解为，方程的解为，即原方程恰有个不同的实根.故假命题的个数为个.12.已知定义在上的函数，则（ ）A. 在上，方程有个零点B. 关于的方程有个不同的零点C. 当时，函数的图象与轴围成的面积为D. 对于实数，不等式恒成立答案：D解答：当时，；由数学归纳法可知，当时，设函数，函数，并画出函数的图象，函数，函数，如图所示.A项， 在上，如图，的图象与的图象交点只有个，故方程有个零点，A选项错误；B项， 当时，观察图象，与图象有个交点，不是个，故B项错误；C项， 当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，底边长为，高为，所以面积，故C项错误；D项，先求时的最大值，若取得最大值，则由图象知，则当，在处取得最大值，所以恒成立，故D项正确.二、填空题13.已知命题“若，则，” 命题的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为 .答案： 解答：，命题为真命题，其逆命题为：若，则，时，而.逆命题为假命题，根据命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题是互为逆否命题，命题的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题，故答案为.14.已知命题函数在上是单调函数，若命题为假命题，则实数的取值范围是 .答案： 解答：由题意，得，因为函数在上是单调函数，所以在上恒成立，则，所以实数的取值范围是：.15.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .答案： 解答：在上，不等式转化为在上恒成立，在上恒成立.当时，即无解；当时，即，；当时，即，；综上所述，.16.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是 .答案： 解答：设曲线上的切点为，曲线上一点为.因，故直线的斜率分别为，由于，因此，即，也即.又因为，所以，由于存在使得，因此且，所以，所以.3、 解答题17. 设函数的图像上相邻最高点与最低点的距离为.（1）求的值；（2）若函数是奇函数，求函数在上的单调递减区间.答案：（1）见解析；（2）见解析.解答：（1）.设为的最小正周期，由的图像上相邻最高点与最低点的距离为，得.因为，所以，整理得.又因为，所以.（2）由（1）可知，所以.因为是奇函数，所以.又因为，所以，所以.令，则，所以函数的单调递减区间是，.又因为，所以当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为.所以函数在上的单调递减区间是，.18. 已知四棱锥的底面为菱形，且，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.答案：（1）见解析；（2）.解答：（1） 取的中点，连接、，如图所示，由，知为等腰直角三角形，所以，又，知为等边三角形，所以.又由得，所以，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）设点到平面的距离为，由（1）知是边长为的等边三角形，为等腰三角形，由得，因为，.所以，即点到平面的距离为.19. 一汽车厂生产，三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如图所示（单位：辆），若按，三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，则类轿车有辆（1）求下表中的值；（2）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取辆，经检测它们的得分如下：，把这辆车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，记这辆车的得分的平均数为，定义事件，且函数没有零点，求事件发生的概率.答案:（1）；（2）.解答：（1） 设该厂本月生产轿车为辆，由题意得：，所以，所以.（2）辆轿车的得分的平均数为.把辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个分数对应的基本事件的总数为个，由，且函数没有零点可得，解得.所以发生当且仅当的值为，共个，所以.20.已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解答：（1）由，得.令，得或.因为，所以在区间上的最大值为.设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此.整理得.设，则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同的零点”.，与的变化情况如下表.所以是的极大值，是的极小值.当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点.当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点.当且，即时，因为，所以分别在区间，和上恰有个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是.21.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.答案：（1）见解析；（2）.解答：（1）由题意得，函数的定义域为.若，则当或时，此时单调递增，当时，此时单调递减；若，则当时，此时单调递减，当时，即，此时单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.设，则只要即可.令，得；令，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以的最大值为与中的较大者.设，则，所以在上单调递增，所以，所以.从而.所以，即.设，则，所以在上单调递增.又，所以的解为.因为，所以正实数的取值范围为.22.已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值.答案：（1），（为参数）；（2）.解答：（1） 根据题意，椭圆的方程为，则其参数方程为,（为参数）；直线的极坐标方程为，变形可得，即，将，代入可得，即直线的普通方程为.（2）根据题意，为椭圆一点，则设，分析可得，当时，取得最大值.23.设函数（1）解不等式；（2）当，时，证明：.答案：（1）；（2）见解析.解答：（1） 由已知可得：，由时，成立；时，即有，则为.故的解集为.（2）由（1）知，；，.