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2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期12月月考数学(理)试题一、单选题1已知集合,则 ( )ABCD【答案】D【解析】先求出集合A,B,由此能求出【详解】解:集合,故选:D【点睛】本题考查并集的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2下列命题中的假命题是( )A,B,C,D,【答案】B【解析】【详解】试题分析:当x=1时,(x-1)2=0,显然选项B中的命题为假命题,故选B。【考点】特称命题与存在命题的真假判断。3已知角x的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角x的最小正值为()A B C D 【答案】B【解析】先根据角终边上点的坐标判断出角的终边所在象限,然后根据三角函数的定义即可求出角的最小正值【详解】因为,所以角的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知,故角的最小正值为故选:B【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角,意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示,属于基础题4已知等差数列的前项和为,若,则( )A3B9C18D27【答案】D【解析】设等差数列的首项为,公差为.,即故选D.5、为不同的平面,、为不同的直线,则的一个充分条件是( )A,B,C,D,【答案】A【解析】根据线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理对四个选项进行判断,从中找出可以判断的选项即可.【详解】选项A, 由,可得,又, 故,所以A正确.选项B, ,,则与可能平行、相交,与可能相交,也可能平行得不出,所以B不正确.选项C, ,,与可能平行也可能相交,当时,则推不出,所以C不正确.选项D,由于的位置不定,所以无法判断与的关系,所以D不正确.故选:A.【点睛】本题考查充分条件的判断,考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的性质的应用,属于基础题.6函数的图象大致为( )ABCD【答案】A【解析】根据函数的奇偶性可排除B,再根据时的符号可排除D,再根据时,可排除C,从而得到正确的选项.【详解】函数的定义域关于原点对称,且,故为奇函数,其图像关于原点对称,所以排除B.又当时,所以,故排除D.又当时,故排除C ,综上,选A.【点睛】本题为图像题,考查我们从图形中扑捉信息的能力,一般地,我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值,然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围7过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( )ABCD【答案】A【解析】【详解】根据题意,焦点在x轴上,设左焦点(-c,0),故P坐标可求为(-c,)=2c,所以=即有=,同时除以a,,求得8已知圆锥的顶点为,母线、所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为( )ABCD【答案】B【解析】由与圆锥底面所成角为可得母线与底面半径的关系,由的面积为,可解得底面半径和母线的长,从而可求出该圆锥的侧面积.【详解】设为圆锥底面圆的圆心,设底面圆的半径为.与圆锥底面所成角为,即.所以.母线、所成角的余弦值为,即.则.由.得:.又底面圆的周长为:.圆锥的侧面积为:.故选:B.【点睛】本题考查圆锥的侧面积,线面角和三角形的面积,属于中档题.9已知是直线:上一动点,、是圆:的两条切线,切点分别为、,若四边形的最小面积为,则( )ABCD【答案】C【解析】由题意四边形的面积为=,根据面积的最小值,得到的最小值,再转化为点到直线的距离,即可解决问题.【详解】由,即.所以圆的圆心,半径为1.根据条件、是圆的两条切线,如图:则为两个全等的直角三角形.所以四边形的面积为=显然当最小时,四边形的面积最小.由四边形的最小面积为,即=2.即的最小值.又是直线:上一动点.所以的最小值为点到直线的距离: .解得:.故选: C.【点睛】考查圆的切线的性质,点到直线的距离,本题找到四边形的面积最小的条件是解题的关键,结合图像分析,体现数形结合思想,属于中档题.10在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为( )ABCD【答案】D【解析】由的四个面都是直角三角形,平面,则可将三棱锥补成正方体,正方体的一条对角线为外接球的直径,内切球半径由等体积法可求.【详解】由的四个面都是直角三角形,平面.将该三棱锥补成如图所示的正方体.则正方体的对角线为三棱锥的外接球的直径,且.所以外接球的半径为.所以外接球的表面积为:.设三棱锥的内切球的半径为:.三棱锥的表面积为:.=.则.即,解得:.所以三棱锥的内切球的表面积为:.所以该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为:故选:D.【点睛】本题考查了多面体的球的外接与内切问题,考查了勾股定理的应用,等腰三角形中的三线合一的性质应用,考查空间想象力,求空间几何体的内切球的半径一般用等体积法,属于中档题.11已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交于,两点若,则椭圆的离心率为ABCD【答案】D【解析】利用椭圆的定义以及余弦定理,列出方程,转化求解椭圆的离心率即可【详解】椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交于,两点,可得,化简可得,由可得,解得,(舍去)故选【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化与化归思想以及运算求解能力,注意椭圆离心率的范围是12已知点为外接圆的圆心,角,所对的边分别为,且,若,则当角取到最大值时的面积为( )ABCD【答案】A【解析】由意在可知,代入数量积的运算公式求,再根据正弦定理说明时,也取得最大值,最后求面积.【详解】 , ,且,当时,时,也取得最大值,此时, ,.故选:A【点睛】本题考查向量数量积和面积公式,意在考查转化与变形和分析问题,解决问题的能力,本题的关键是根据正弦定理,且,说明时,也取得最大值,后面的问题迎刃而解.二、填空题13过三点,的圆的方程为_.【答案】【解析】由圆的垂径定理有圆心一定在弦的垂直平分线上,所以求出弦和的垂直平分线,然后联立求出圆心,再求半径.【详解】由,有:中点为,;所以的中垂线为:,即.由,有:中点为,,所以的中垂线为:,即.由 解得:,即圆心为.所以.所以圆的方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查圆的方程的求法,已知圆上三点求圆的方程还可以用待定系数法,设出圆的一般方程,将点的坐标代入求解,属于基础题.14已知实数满足,则的最大值为_.【答案】-4【解析】分析:由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得到答案.详解:作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,联立,解得,化目标函数为,由图可知,当直线过点时,直线在轴上的截距最小,有最大值为. 点睛:本题考查了简单的线性规划的应用,着重考查了数形结合思想方法的应用,对于线性规划问题有三类:(1)简单线性规划,包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值,有时考查斜率型或距离型目标函数;(2)线性规划逆向思维问题,给出最值或最优解个数求参数取值范围;(3)线性规划的实际应用.15设是圆:内一定点,过作两条互相垂直的直线分别交圆于、两点,则弦中点的轨迹方程是_.【答案】【解析】设的中点为,设,,则,由题意均在圆上则有.又由,得,再代入消去参数,得到的轨迹方程.【详解】设的中点为,设,.则. (1)由题意均在圆上则有:. (2)又由条件有,即.即= (3)将(1)代入(3)中有: (4)将(1)中两式平方相加得:.即 (5)将(2),(4)代入(5)得:.即弦中点的轨迹方程是.故答案为:【点睛】本题考查动点的轨迹的求法,动点的轨迹的常见求法有:定义法、几何法、直译法、参数法、相关点法、交轨法等,解题时要认真审题,属于中档题.16如图正方体的棱长为,、,分别为、的中点.则下列命题:直线与平面平行;直线与直线垂直;平面截正方体所得的截面面积为;点与点到平面的距离相等;平面截正方体所得两个几何体的体积比为.其中正确命题的序号为_.【答案】【解析】连结,由、分别为、的中点,则,所以四点共面,截面图形为等腰梯形,然后对各个命题进行逐一判断.【详解】连结,由、分别为、的中点.则,又,所以且=.所以截面四边形形为等腰梯形.对, 、,分别为、的中点, 所以,且=,则四边形为平行四边形,所以,所以平面,故正确.对, ,在中,, 显然与不垂直,则直线与直线不垂直,故不正确.对, 平面截正方体所得的截面为四边形,又四边形为等腰梯形,其中,梯形的高为,则其面积为.故正确.对,点是的中点,所以到面的距离相等.、分别为、的中点,延长交的延长线于点,即直线交平面于点,则为的中点,如图,分别过作平面的垂线,垂足分为,所以分别为点到面的距离,则三点共线,根据三角形的相似可得:,所以到面的距离不相等,则点与点到平面的距离不相等,故不正确.对, 由条件可知多面体为棱台,其体积为,平面截正方体所得两个几何体的体积比为,故正确.故答案为:.【点睛】本题考查了线面平行、线线的垂直的证明,考查了点面距离,截面面积和几何体的体积,考查空间想象和思维能力,属于中档题.三、解答题17在等差数列中,且、成等比数列.()求数列的通项公式;()若数列的公差不为,设,求数列的前项和.【答案】(),或;().【解析】()由,成等比数列,则,将的通项公式代入,可解出的公差,可得通项公式.()由()有,然后分组求和即可.【详解】()设数列的公差为.因为,成等比数列,所以,又,所以,即解得或.当时,.当时,. ()因为公差不为,由()知,则,所以.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和应用,用分组求和的方法求前项和,属于基础题.18设函数.()求函数的单调递增区间;()在锐角中,若,且能盖住的最小圆的面积为,求周长的取值范围.【答案】();().【解析】()利用诱导公式和降幂公式,二倍角公式以及两角和的正弦公式逆用将函数化简得到函数,然后由可得单调增区间.()能盖住的最小圆的面积为,即三角形的外接圆,求出其外接圆的半径,则由正弦定理可以求出边,可以用角表示出边,根据角的范围求出其范围即可.【详解】()因为由,解得,所以函数的单调递增区间为. ()因为,所以.又因为为锐
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