第一章空间直线、平面平行垂直一、考纲解读1要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.2以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.二、命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.三、知识点精讲(一).直线和平面平行1定义直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）表8-9文字语言图形语言符号语言线线线面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行面面线面如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）表8-10文字语言图形语言符号语言线面线线如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(二).两个平面平行1定义没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若,则2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）表8-11文字语言图形语言符号语言判定定理线面面面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行线面面面如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表8-12文字语言图形语言符号语言面/面线/面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）面/面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线(三).线面垂直 1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直. 2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）表1文字语言图形语言符号语言判断定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直面面线面两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直_a平行与垂直的关系1一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直_平行与垂直的关系2两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直a_b_a3性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）表2文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一平面的两条直线平行a_b_a文字语言图形语言符号语言垂直与平行的关系垂直于同一直线的两个平面平行_线垂直于面的性质如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直(四).斜线在平面内的射影1.斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.2.射影的定义 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.3.直线与平面所成的角 平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.(五).平面与平面垂直1.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直_4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直_a四、思路小结(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.性质性质性质判定判定判定线面线线面面图 0（1） 证明直线与平面平行的常用方法：利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2） 证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.（3） 证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理；利用平行公理；(二).证明空间中直线、平面的垂直关系线线线面面面（1）证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质（）；平行线垂直直线的传递性（）.（2）证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定（）；面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（）；面面垂直的性质（）.（3）证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理（）.性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线面线线面面线面线线面面图 3空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.五、解答题题型总结核心考点一：平行证明【例1】已知四棱锥，底面为平行四边形，为侧棱上的两个三等分点，如图所示求证：原图：l 连结交于，连结，底面为矩形，为的中点，为侧棱的三等分点，平面，平面，平面【例2】已知直四棱柱，为棱的中点，为体对角线的中点求证：直线平面原图：【解析】 法一：延长交的延长线于点，连接因为是的中点，所以为的中点，为的中点又是线段的中点，故又平面，平面平面法二：（可将图形调整一下，看得会更明显）连结，由，点平分线段，又点平分线段，又面，面，直线平面【例3】长方体中，点（异于、），求证：平面【解析】 法一：，又，又面，面，面法二：可利用直线与平面的性质定理证明连结、，长方体中面，面，又，面面，又面，面，面核心考点二：垂直证明【例1】如图，已知平行六面体的底面是菱形，且，求证：原图：l 底面是菱形，连结，交于点，连结，由可知，为等腰三角形，又，又，面，又，且面，【例2】在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别为、的中点若，求证：面【追问】设，则面原图：l 法一：取中点，连结，则；，是平行四边形；底面，且面，；又由底面是矩形有，面；又面，；又，是等腰直角三角形；又，；又，面；又，面法二：先完全仿照法一可证明面；取中点，连接、；则，面面；面，；，又，又，且，根据三角形全等可知；又，；，面【追问】，又，即是等腰三角形是的中点，由例题知，结合，得面【例3】(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.【例4】如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解 因为BF平面ACK,所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在RtBFD中,BF=3,DF=,得cosBDF=217,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.【例5】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.