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本资料来源于七彩教育网http:/www.7caiedu.cn10.10与柱体、锥体、台体、球有关的性质【知识网络】 1、柱体、锥体、台体、球的有关性质;2、展开图及内接、外接问题; 3、不规则的图形的有关计算。【典型例题】例1:(1)一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( )A、底面是正方形,有两个侧面是矩形 B、底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C、底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱答案:D。解析:正四棱柱的条件是底面为正方形的直棱柱。(2)底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 ( )A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥答案:D。解析:只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道(3)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,若G、E分别为BB1,C1D1的中点,点F是正方形ADD1A1的中心,则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为_。 答案:。解析:考察在三组对面上的投影即可。(4)棱锥的高为16cm,底面积为512cm2,平行于底面的截面积为50cm2,则截面与底面的距离为 答案: 11cm 。解析:。 (5)把半径为r的四只小球全部放入一个大球内,则大球半径的最小值为_。答案:()r。解析:四只小球的球心组成正四面体形状,即。例2:已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围答案:: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1, DA=DC=, 只有棱DB的长x是可变的 在三角形ACD中, M为AC的中点, MD= MB=由MF-MBBD0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是 。答案:。解析:有四种情况:边长为5a的边重合,表面积为;边长为4a的边重合,表面积为;边长为3a的边重合,表面积为;两个相同的直三棱柱竖直放在一起,表面积为。,。7如图所示,把边长为的正方形剪去图中阴影部分,沿图中的线折成一个正三棱锥,求出此棱锥的底面积,侧面积和高.答案:如图所示,DEF是正三角形,又由对称性知,FDC=15,又FD=FC(都是底边),FDC是底角为15的等腰三角形。取DC中心M,连MF,则MFDC,在RtFDM中,底面积为:。 FCD=15,FCB=75,取FC中点N,连结BN,则BNFC。在RtBNC中,BCN=75,。S侧=。如图所示,过B作BO面EFD于O,则O是EFD的中心,连EO,在RtEOB中,。8如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD于A,PC平面AEFG,且分别交PB、PC、PD于E、F、G,(1),求证:面PAB面PAD; (2)求证:A、E、F、G四点共圆。答案:(1),ADAB,ADPA,且PAAB=A,AD面PAB, 又AD面PAD,面PAB面PAD, (2)易知CD面PAD, AGCD,又已知PC面AEFG,AGPC,且CD PC=C ,AG面PCD,又FG 面PCD,AGFG,即AGF=900,同理AEF=900,四边形AEFG对角线互补,四边形AEFG内接于圆,即A、E、F、G四点共圆。9如图,在三棱锥中,平面,D为BC的中点(1)判断AD与SB能否垂直,并说明理由; (2)若三棱锥的体积为,且为 钝角,求二面角的平面角的正切值;(3)在()的条件下,求点A到平面SBC的距离答案:(1)因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直,否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾,所以AD与SB不垂直;(2)设,则 解得 ,所以(舍),平面ABC,AB=AC,D为BC的中点 ,则是二面角SBCA的平面角在中,, 故二面角的正切值为、(3)由(2)知,平面SDA,所以平面SBC平面SDA,过点A作AESD,则AE平面SBC,于是点A到平面SBC的距离为AE,从而即A到平面SBC的距离为10已知三视图:(1)画出该几何体的直观图;(2)求该几何体的表面积答案:解:(1)(2)由题意可知,该几何体是由正四棱柱与正四棱锥构成的简单几何体由图易得:,取中点,连接,从而,所以该几何体表面积【作业本】A组1下列命题中错误的是 ( ) A圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C圆台的所有平行于底面的截面是圆 D圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案:B。解析:只有当顶角为90时,面积才为最大。2、设M为正四面体ABCD高线AH上一点,连结MB,MC,若BMC=90,则的值为 ( )A、 B、 C、 D、1答案:D。解析:设四面体的棱长为a,MH=x,则MC2=MB2=MH2+BH2=,在RtBMC中,由MB2+MC2=BC2得,解得,AM=MH=AH,即。3如果球的内接正方体的表面积为,那么球的体积等于 ( )A B C D答案:A。解析:,即。4四面体的一条棱长为x,其它各棱长为1,若把四面体的体积V表示成x的函数f(x),则f(x)的增区间为 ,减区间为 。答案:(0, 。解析:,利用不等式或导数即可判断。5设P是平面外一点,且P到平面内的四边形的四条边的距离都相等,则四边形是 。答案:圆外切四边形。解析:P在内的射影到各边的距离相等。6已知一个圆锥的底面半径为,高为,在其中有一个高为的内接圆柱,(1)求圆柱的侧面积;(2)为何值时,圆柱的侧面积最大?答案:解:(1)过圆锥及内接的圆柱的轴作截面,如图:因为,所以,从而(2)因为,所以当时,最大,从而当即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大7一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域.答案:解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为. 在中, , 所以, 于是 依题意函数的定义域为 8. 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x的正方形(如图),再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒
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