第一章导数及其应用(A) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知曲线yx22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是()A(1,3) B(1，3)C(2，3) D(2,3)2函数yx42x25的单调减区间为()A(，1)及(0,1)B(1,0)及(1，)C(1,1)D(，1)及(1，)3函数f(x)x3ax23x9，在x3时取得极值，则a等于()A2 B3 C4 D54已知函数f(x)ax3x2x5在(，)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为()Aa BaCa0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间，上，f(x)0恒成立，求a的取值范围答案1Bf(x)2x20，x1.f(1)(1)22(1)23.M(1，3)2Ay4x34x4x(x21)，令y0得x的范围为(，1)(0,1)，故选A.3Df(x)3x22ax3.由f(x)在x3时取得极值，即f(3)0，即276a30，a5.4Cf(x)3ax22x1，函数f(x)在(，)上有极大值，也有极小值，等价于f(x)0有两个不等实根，即解得a且a0.5C由于F(x)与位移方向成30角如图：F在位移方向上的分力FFcos 30，W(5x2)cos 30dx(5x2)dx| (J)6By|x1n1，切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以log2 010x1log2 010x2log2 010x2 009log2 010(x1x2x2009)log2 010()log2 0101.7Bf(a)(cos x)|1cos a，f1cos 1，f(1)1cos 1.8A9A设圆柱横截面圆的半径为R，圆柱的高为h，则2Rh2.VR2hR2(22R)2R22R3，V2R(23R)0.令V0，则R0(舍)或R.经检验，R时，圆柱体积最大，此时h，Vmax.10D如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0x阴影部分面积的2倍故选D.11B设F(x)kx，则200k0.1，k2 000，W2 000xdx1 000x2|10 (J)12A(，2)时，f(x)0，f(x)为减函数；同理f(x)在(2,0)上为增函数，(0，)上为减函数13a3解析由题意应有f(x)3x2a0，在区间(1，1)上恒成立，则a3x2，x(1,1)恒成立，故a3.14ab解析acos x|cos 2，bsin x|sin 1.又cos 2cos(2)sin(2)在单位圆中利用三角函数线估算可知ab.15(2,15)解析设P(x0，y0)(x00)，由题意知：y|xx03x102，x4.又P点在第二象限内，x02，y015.P点的坐标为(2,15)16.17解(1)f(x)6x26(a1)x6a.f(x)在x3处取得极值，f(3)696(a1)36a0，解得a3.f(x)2x312x218x8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，切线方程为y16.18解(1)依题意，铁路AM上的运费为2(50x)，公路MC上的运费为4，则由A到C的总运费为y2(50x)4(0x50)(2)y2(0x50)令y0，解得x1，x2(舍)当0x时，y时，y0.故当x时，y取得最小值，即当在距离点B为时的点M处修筑公路至C时总运费最小19解函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.20解由Vr2h，得h.设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价Mar22a2rh4ar25ar2，M10ar，令M0，解得r，经验证，当r时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h.当时，储油罐的造价最省21解f(x)3ax2b.(1)由题意得，解得，故所求函数的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如右图所示若f(x)k有3个不同的根，则直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，所以k.22解(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3. f(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分两种情况讨论：若00等价于即解不等式组得5a5.因此02，则00等价于即解不等式组得a5或a.因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.