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新课标高中数学必修2知识点总结经典第1章 空间几何体1.1空间几何体的结构1、 棱柱 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、 棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、 棱台 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如四棱台ABCD几何特征:上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点4、 圆柱 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。5、 圆锥定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。球体定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征:面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶点、轴1.2空间几何体的三视图和直观图1、 中心投影与平行投影中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、 三视图 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3、直观图:斜二测画法斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;(3).画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3空间几何体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4) 球体的表面积和体积公式: ; 第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1 、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理1的作用:判断直线是否在平面内2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 若A,B,C不共线,则A,B,C确定平面推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面 若,则点A和确定平面推论2:过两条相交直线有且只有一个平面 若,则确定平面推论3:过两条平行直线有且只有一个平面 若,则确定平面公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。4、公理4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系:平行、相交、异面。(1)没有任何公共点的两条直线平行(2)有一个公共点的两条直线相交(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交 8、面面位置关系:平行、相交。9、线面平行:(即直线与平面无任何公共点)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以) 证明两直线平行的主要方法是: 三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; 平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; 线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行; 平行线的传递性: 面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行; 垂直于同一平面的两直线平行; 直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的)10、面面平行:(即两平面无任何公共点) (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 (2)两平面平行的性质: 性质:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行; 性质:平行于同一平面的两平面平行; 性质:夹在两平行平面间的平行线段相等; 性质:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行; 11、线面垂直:定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 性质:垂直于同一直线的两平面平行 12、面面垂直:定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。 (只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 证明两直线垂直和主要方法:利用勾股定理证明两相交直线垂直;利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)空间角及空间距离的计算1. 异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,2. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:是平面的一条斜线,A为斜足,O为垂足,叫斜线在平面上射影,为线面角。3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是: 确构成二面角两个半平面和棱;明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图:O为P在平面上的射影,线段的长度为点P到平面的距离求法通常有:定义法和等体积法等体积法:就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥中有:第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,; 当时,; 当时,不存在。过两点的直线的斜率公式: 注意:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3.2直线的方程点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0时,0,直线的方程是1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于
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