高等数学 第一节常数项级数的概念与性质 第二节正项级数 第三节任意项级数 第四节幂级数 第五节函数展开成幂级数 1 常数项级数的概念与性质 2 函数展开成幂级数 学习重点 第十二章无穷级数 定义1设给定一个数列u1 u2 un 则把u1 u2 un 称为常数项级数 简称级数其中 第n项un称为级数的一般项或通项 一 常数项级数的概念 第一节常数项级数的概念及性质 第一节常数项级数的概念及性质 二 级数的基本性质 第一节常数项级数的概念及性质 第一节常数项级数的概念及性质 性质3在级数中去掉 加上或改变有限项 不改变级数的敛散性 但在级数收敛时 一般会改变级数的和 性质4在收敛级数中 对某些项任意加入括号 所得级数仍收敛 且其和不变 推论3如果在级数中插入括号后新级数发散 则原级数必发散 定义若级数满足un 0 n 1 2 则称该级数为正项级数 如果一个级数从某一项起全是非负的 我们就可以把它作为正项级数对待 对负项级数 级数的通项满足un 0 n 1 2 只要表示为 一 正项级数的定义 第二节正项级数 就可作为正项级数研究 正项级数的前n项之和数列 sn u1 u2 un 是一个单调增加数列 s1 s2 s3 根据极限理论中单调有界数列必有极限的准则 判定正项级数是否收敛 只要看sn是否有上界 如果 sn 有上界 那么 sn 有极限 从而级数收敛 反之 如果 sn 无上界 那么 sn 无极限 从而级数发散 第二节正项级数 条件中n N表示判别不等式un vn不一定要从级数的第一项起成立 而只需从第N项起成立即可 定理1的结论表明 若 大 级数收敛 则 小 级数也收敛 若 小 级数发散 则 大 级数必定发散 二 比较审敛法 第二节正项级数 比值审敛法是以级数相邻通项之比的极限作为判断依据的 因此它特别适用于通项以n 或an a是正常数 为因子的级数 三 比值审敛法 第二节正项级数 其中un 0 n 1 2 3 称为交错级数 对于交错级数 有下列审敛法 一 交错级数 第三节任意项级数 则级数收敛 且其和s u1 余项 rn un 1 第三节任意项级数 二 绝对收敛与条件收敛 第三节任意项级数 定义1如果函数u1 x u2 x un x 在区间I上有定义 则称u1 x u2 x un x 对任意一点x0 I 代入级数中 得常数项级数 一 函数项级数 第四节幂级数 如果常数项级数收敛 则称点x0是函数项级数的一个收敛点 如果常数项级数发散 则称点x0是函数项级数的一个发散点 函数项级数的所有收敛点的集合 称为它的收敛域 所有发散点的集合称为它的发散域 对于函数项级数的收敛域内任一点x 函数项级数就成为收敛的常数项级数 它有确定的和并与x对应 成为x的函数 记为s x 并称它为函数项级数的和函数 即 第四节幂级数 设sn x 是右端级数的部分和 即sn x u1 x u2 x un x 则在收敛域上有记rn x s x sn x 称rn x 为函数项级数的余项 只在收敛域上rn x 才有意义 并有 第四节幂级数 定义2形如的函数项级数称为x的幂级数 其中an n 0 1 2 称为幂级数的系数 二 幂级数及其收敛性 第四节幂级数 1 当 0时 有 x 1 时 幂级数绝对收敛 x 1 时 幂级数发散 称R 1 为幂级数的收敛半径 2 当 0时 对任意的x 幂级数都绝对收敛 幂级数的收敛半径R 3 当 时 只在x 0处幂级数绝对收敛 幂级数的收敛半径R 0 若幂级数的收敛半径为R 则称区间 R R 为幂级数的收敛区间 幂级数在收敛区间内绝对收敛 对于在区间端点x R处幂级数的敛散性 可以将x R代入幂级数中转化成常数项级数加以判定 从而得到幂级数的收敛域 第四节幂级数 这个性质表明 两个幂级数在其公共的收敛区间上的和函数之和 是逐项相加后幂级数的和函数 三 收敛幂级数及其和函数的性质 第四节幂级数 第四节幂级数 定理 泰勒中值定理 如果函数f x 在点x0的某邻域内具有 n 1 阶导数 则在该邻域内 有其中称式为f x 按 x x0 的幂展开的n阶泰勒 Taylor 公式 称由上式表示的Rn x 为f x 的拉格朗日型余项 一 泰勒级数 第五节函数展开成幂级数 1 直接展开法将函数f x 展开成x的幂级数 即麦克劳林级数 的步骤如下 求出f x 在点x 0的各阶导数值f n 0 2 写出幂级数并求其收敛半径R 3 考察余项Rn x 在区间 R R 内的极限 二 函数展开成幂级数 第五节函数展开成幂级数 1 直接展开法是否为零 2 间接展开法间接展开法是以一些已知的函数的幂级数展开式为基础 根据幂级数展开式的唯一性 利用幂级数的运算 特别是分析运算 及变量代换等方法 将所给函数展开为幂级数 第五节函数展开成幂级数 用幂级数展开法求下列各数的近似值 展开式中计算前三项的和 1 ln2 2 51 2 思考题 第十二章无穷级数 谢谢观看