11 2随机抽样 用样本估计总体 高考文数 课标专用 考点一随机抽样 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 1 2019课标全国 6 5分 某学校为了解1000名新生的身体素质 将这些学生编号为1 2 1000 从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验 若46号学生被抽到 则下面4名学生中被抽到的是 A 8号学生B 200号学生C 616号学生D 815号学生 答案C本题考查系统抽样 考查了数据处理能力 考查的核心素养为数据分析 将1000名学生分成100组 每组10人 则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列 an 由题意知a5 46 则an a5 n 5 10 10n 4 n N 易知只有C选项满足题意 故选C 解题关键明确系统抽样的方法是解决本题的关键 2 2018课标全国 14 5分 某公司有大量客户 且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 为了解客户的评价 该公司准备进行抽样调查 可供选择的抽样方法有简单随机抽样 分层抽样和系统抽样 则最合适的抽样方法是 答案分层抽样 解析本题考查抽样方法 因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样 考点二用样本估计总体1 2019课标全国 4 5分 西游记 三国演义 水浒传 和 红楼梦 是中国古典文学瑰宝 并称为中国古典小说四大名著 某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况 随机调查了100位学生 其中阅读过 西游记 或 红楼梦 的学生共有90位 阅读过 红楼梦 的学生共有80位 阅读过 西游记 且阅读过 红楼梦 的学生共有60位 则该校阅读过 西游记 的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A 0 5B 0 6C 0 7D 0 8 答案C本题主要考查用样本估计总体 考查学生对实际问题的处理能力和数据分析能力 考查了数据分析的核心素养 在样本中 仅阅读过 西游记 的学生人数为90 80 10 又由既阅读过 西游记 又阅读过 红楼梦 的学生人数为60 得阅读过 西游记 的学生人数为10 60 70 所以在样本中阅读过 西游记 的学生人数所占的比例为 0 7 即为该校阅读过 西游记 的学生人数与该校学生总数比值的估计值 解题关键在样本中 由阅读过 西游记 或阅读过 红楼梦 的学生人数为90 阅读过 红楼梦 的学生有80位 得到仅阅读过 西游记 的学生有10位是解决本题的关键 2 2018课标全国 3 5分 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案A本题主要考查统计图 设建设前经济收入为a 则建设后经济收入为2a 由题图可得下表 根据上表可知B C D均正确 A不正确 故选A 3 2017课标全国 2 5分 为评估一种农作物的种植效果 选了n块地作试验田 这n块地的亩产量 单位 kg 分别为x1 x2 xn 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A x1 x2 xn的平均数B x1 x2 xn的标准差C x1 x2 xn的最大值D x1 x2 xn的中位数 答案B统计问题中 体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差 故选B 方法总结样本的平均数体现的是样本数据的平均水平 样本的方差和标准差体现的是样本数据的稳定性 4 2017课标全国 3 5分 某城市为了解游客人数的变化规律 提高旅游服务质量 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折线图 根据该折线图 下列结论错误的是 A 月接待游客量逐月增加B 年接待游客量逐年增加C 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月D 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月 波动性更小 变化比较平稳 答案A由题中折线图可知 每年的月接待游客量从8月份开始有下降趋势 故选A 5 2015课标 3 5分 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量 单位 万吨 柱形图 以下结论中不正确的是 A 逐年比较 2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案D由已知柱形图可知A B C均正确 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 所以排放量与年份负相关 D不正确 6 2019课标全国 17 12分 为了解甲 乙两种离子在小鼠体内的残留程度 进行如下试验 将200只小鼠随机分成A B两组 每组100只 其中A组小鼠给服甲离子溶液 B组小鼠给服乙离子溶液 每只小鼠给服的溶液体积相同 摩尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比 根据试验数据分别得到如下直方图 记C为事件 乙离子残留在体内的百分比不低于5 5 根据直方图得到P C 的估计值为0 70 1 求乙离子残留百分比直方图中a b的值 2 分别估计甲 乙离子残留百分比的平均值 同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 解析本题主要考查频率分布直方图的含义 以及用频率分布直方图估计样本的数字特征 通过实际问题的应用考查学生的运算求解能力 考查了数学运算的核心素养 体现了应用意识 1 由已知得0 70 a 0 20 0 15 故a 0 35 b 1 0 05 0 15 0 70 0 10 2 甲离子残留百分比的平均值的估计值为2 0 15 3 0 20 4 0 30 5 0 20 6 0 10 7 0 05 4 05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3 0 05 4 0 10 5 0 15 6 0 35 7 0 20 8 0 15 6 00 方法总结由频率分布直方图估计样本的数字特征 xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标 Si表示第i个小矩形的面积 平均数 x1S1 x2S2 xiSi xnSn 方差s2 x1 2S1 x2 2S2 xn 2Sn 中位数 从左到右 或从右到左 小矩形面积之和 0 5时的横坐标 众数 最高小矩形底边中点的横坐标 7 2019课标全国 19 12分 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况 随机调查了100个企业 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表 1 分别估计这类企业中产值增长率不低于40 的企业比例 产值负增长的企业比例 2 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 同一组中的数据用该组区间的中点值为代表 精确到0 01 附 8 602 解析本题考查了统计的基础知识 基本思想和方法 考查学生对频数分布表的理解与应用 考查样本的平均数 标准差等数字特征的计算方法 以及对现实社会中实际数据的分析处理能力 1 根据产值增长率频数分布表得 所调查的100个企业中产值增长率不低于40 的企业频率为 0 21 产值负增长的企业频率为 0 02 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40 的企业比例为21 产值负增长的企业比例为2 2 0 10 2 0 10 24 0 30 53 0 50 14 0 70 7 0 30 s2 ni yi 2 2 0 40 2 24 0 20 2 53 02 14 0 202 7 0 402 0 0296 s 0 02 0 17 所以 这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30 17 方法总结利用频数分布表求平均数估计值的方法 各组区间中点值乘该组频数 并求和 再除以样本容量 利用频数分布表求标准差估计值的方法 用各组区间中点值代表该组 代入标准差公式即可 8 2018课标全国 19 12分 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据 单位 m3 和使用了节水龙头50天的日用水量数据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 1 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于0 35m3的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按365天计算 同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表 解析 1 2 根据以上数据 该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0 35m3的频率为0 2 0 1 1 0 1 2 6 0 1 2 0 05 0 48 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0 35m3的概率的估计值为0 48 3 该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 0 05 1 0 15 3 0 25 2 0 35 4 0 45 9 0 55 26 0 65 5 0 48 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 0 05 1 0 15 5 0 25 13 0 35 10 0 45 16 0 55 5 0 35 估计使用节水龙头后 一年可节省水 0 48 0 35 365 47 45 m3 易错警示利用频率分布直方图求众数 中位数与平均数时 应注意区分这三者 在频率分布直方图中 1 最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数 2 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的 3 平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和 9 2016课标全国 19 12分 某公司计划购买1台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个200元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个500元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 y表示1台机器在购买易损零件上所需 的费用 单位 元 n表示购机的同时购买的易损零件数 1 若n 19 求y与x的函数解析式 2 若要求 需更换的易损零件数不大于n 的频率不小于0 5 求n的最小值 3 假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件 或每台都购买20个易损零件 分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 以此作为决策依据 购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件 10 2015课标 18 12分 某公司为了解用户对其产品的满意度 从A B两地区分别随机调查了40个用户 根据用户对产品的满意度评分 得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 B地区用户满意度评分的频数分布表 1 作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图 并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 给出结论即可 2 根据用户满意度评分 将用户的满意度分为三个等级 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 说明理由 解析 1 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出 B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值 B地区用户满意度评分比较集中 而A地区用户满意度评分比较分散 2 A地区用户的满意度等级为不满意的概率大 记CA表示事件 A地区用户的满意度等级为不满意 CB表示事件 B地区用户的满意度等级为不满意 由直方图得P CA 的估计值为 0 01 0 02 0 03 10 0 6 P CB 的估计值为 0 005 0 02 10 0 25 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大 B组自主命题 省 区 市 卷题组考点一随机抽样 1 2015四川 3 5分 某学校为了了解三年级 六年级 九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查 则最合理的抽样方法是 A 抽签法B 系统抽样法C 分层抽样法