第十三章 轴对称 13 4 课题学习 最短 路径问题 1课堂讲解运用 垂线段最短 解决最短路径问题 运用 两点之间线段最短 解决最短路 径问题 2课时流程 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 如图图 要在燃气管道 l上修建一个泵泵站 分别别向A B两镇镇供气 泵泵站修在管道的什么地方 可使所用的输输 气管线线最短 你能解答这这个问题吗问题吗 知1 导 1知识点 运用 垂线段最短 解决最短路径问题 例1 体育课课上 老师测师测 量小明跳远远成绩绩的依据是 A 过过直线线上一点且垂直于这这条直线线的直线线有且 只有一条 B 两点之间间 线线段最短 C 垂线线段最短 D 两点确定一条直线线 C 知1 练 如图图 l为为河岸 视为视为 直线线 要想开一条沟将河 里的水从 A处处引到田地里去 则应则应 从河边边 l 的何 处处开口才能使水沟最短 找出开口处处的位置并说说 明理由 1 来自 典中点 知2 导 2知识点运用 两点之间线段最短 解决最短路径问题 如图图13 4 1 牧马马人从A地出发发 到一条笔直的 河边饮马边饮马 然 后到B地 牧马马人到河边边的什么地方 饮饮 马马 可使所走的路径最短 问 题 一 知2 导 如果把河边边l近似地看成一条直线线 图图13 4 2 C为为直线线l上的一个动动点 那么 上面的问题问题 可以转转 化为为 当点C在l的什么位置时时 AC与CB的和最小 由这这个问题问题 我们们可以联联想到下面的问题问题 知2 导 如图图13 4 3 点A B分别别是直线线l异侧侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这这个点到点A 点B的 距离的和最短 A B l 利用已经经学过过的知识识 可以很容易地解决上面 的问题问题 即 连连接AB 与直线线l相交于一点 根据 两点之间间 线线段最短 可知这这个交点即为为所求 图图13 4 3 知2 导 现现在 要解决的问题问题 是 点A B分别别是直线线l 同 侧侧的两个点 如何在l 上找到一个点 使得这这个点 到 点A 点B的距离的和最短 如果我们们能把点B移到l的另一侧侧 B 处处 同时时 对对直线线l上的任一点C 都保持CB与C B 的长长度相等 就可以把问题转问题转 化为为 图图13 4 3 的情况 从而 使 新问题问题 得到解决 你能利用轴对轴对 称的有关知识识 找 到 符合条件的点B 吗吗 知2 导 如图图13 4 4 作出点B关于l的对对称点B 利用轴轴 对对称的性质质 可以得 到C B CB 这样这样 问题问题 就转转 化 为为 当点C在 l 的什么位置时时 AC与CB 的和最小 知2 导 如图图13 4 5 在连连接A B 两点的线线中 线线段A B 最 短 因此 线线段 A B 与直线线l的交点C的位置即为为所求 为为了证证明点C的位置即为为 所求 我们们不妨在直线线上另 外任取一点C 图图 13 4 5 连连接 AC BC B C 证证明 AC CB AC C B 你能完成 这这个 证证明吗吗 1 如图图13 4 1 点A B分别别是直线线 l 异侧侧的两个点 连连接AB 与直线线 l 相交于点P 根据 两点之间间 线线段最短 可知点P为为直线线l上到点A 点B的距 离之和最短的点 图图13 4 1 知2 导 2 如图图13 4 2 点A B是直线线l同侧侧的两个点 作点 A关于直线线l的对对称点A 连连接A B交l于点P 则则 PA PB PA PB A B 由 两点之间间 线线段最短 可知 点P为为直线线l上到点A 点B的距离之和最 短 的点 图图13 4 2 知2 导 3 在解决最短路径问题时问题时 我们们通常利用轴对轴对 称 平移等变换变换 把问题转问题转 化为为容易解决的问题问题 从 而 作出最短路径 知2 导 某供电电部门门准备备在输电输电 主干线线l上连连接一个分 支线线路 分支点为为M 同时时向新落成的A B两 个居民小区送电电 1 如果居民小区A B在主干线线l的两旁 如图图 13 4 3 那么分支点M在什么地方时总线时总线 路 最短 知2 讲 例2 图图13 4 3 来自 点拨 知2 讲 2 如果居民小区A B在主干线线l的同旁 如图图13 4 4 那么分支点M在什么地方时总线时总线 路最短 图图13 4 4 来自 点拨 1 连连接AB 与l的交点即 为为所求分支点M 2 作点B关于l的对对称点B1 连连接AB1交l于点M 点 M即为为分支点 导导引 1 如图图13 4 3 连连接AB 与l的交点即为为所求分支 点M 2 如图图13 4 4 作点B关于l的对对称点B1 连连接AB1 交l于点M 点M即为 为所求分支点 知2 讲 解 来自 点拨 图图13 4 3 图图13 4 4 解决 一线线 两点 型最短路径问题问题 的方法 当 两点在直线线异侧时侧时 连连接两点 与直线线的交点即为为所 求作的点 当两点在直线线同侧时侧时 作其中某一点关于 直线线的对对称点 对对称点与另一点的连线连线 与直线线的交点 即为为所求作的点 知2 讲 知2 练 如图图 A处处是一名游泳者的位置 他要先游到岸 边边l上的点P处处喝水 再游到B处处 但要使游泳的 路程最短 试试在图图中画出点P的位置 1 来自 点拨 知2 练 来自 典中点 2015 黔南州 如图图 直线线l外不重合的两点A B 在直 线线l上求作一点C 使得AC BC的长长度最短 作法为为 作点B关于直线线l的对对称点B 连连接AB 与直线线l相交 于点C 则则点C为为所求作的点 在解决这这个问题时问题时 没有 运用到的知识识或方法是 A 转转化思想 B 三角形的两边边之和大于第三边边 C 两点之间间 线线段最短 D 三角形的一个外角大于与它不相邻邻的任意一个内角 2 知2 练 来自 典中点 如图图 直线线l表示一条河 P Q两地相距10 km P Q 两地到l的距离分别为别为 2 km 8 km 欲在l上的某点M 处处修建一个水泵泵站 向P Q两地供水 现现有如下四种 铺设铺设 方案 图图中实线实线 表示铺设铺设 的管道 则铺设则铺设 的管 道最短的是 3 知2 练 来自 典中点 如图图 在平面直角坐标标系中 点A 2 4 B 4 2 在x轴轴上取一点P 使点P到点A和点B的距离之和最小 则则点P的坐标标是 A 2 0 B 4 0 C 2 0 D 0 0 4 知2 讲 造桥选桥选 址问题问题 如图图13 4 6 A和B两地在一条 河的两岸 现现要在河上造一座桥桥MN 桥桥造在何处处可 使从A到B的路径AMNB最短 假 定河的两岸是平 行的直线线 桥桥要与河垂直 问 题 二 我们们可以把河的两岸看成两条平行线线a和b 图图 13 4 7 N为为直线线b上的一个动动点 MN垂直于直线线 b 交直线线a于点M 这样这样 上面的问题问题 可以转转化为为下 面 的问题问题 当点N在直线线b的什么位置时时 AM MN NB最小 知2 讲 知2 讲 由于河岸宽宽度是固定的 因此当AM NB最小时时 AM MN NB最小 这样这样 问题问题 就进进一步转转化为为 当点N在直线线b的 什么位置时时 AM NB最小 能否通过图过图 形的变变化 轴对轴对 称 平移等 把 图图13 4 7 的情况转转化 为为 图图13 4 3 的情况 如图图13 4 8 将AM沿与河岸垂直的方向平移 点M移动动到 点N 点A 移动动到点A 则则AA MN AM NB A N NB 这样这样 问题问题 就转转化为为 当点N在直线线b的什么位置时时 A N NB最 小 知2 讲 如图图13 4 9 在连连接A B两点的线线中 线线段 A B最短 因此线线段A B与直线线b的交点N的位置即为为 所求 即在点N处处造桥桥MN 所得路径AMNB是最短 的 知2 讲 为为了证证明点N的位置即为为所求 我们们不妨在直线线 b 上另外任意取一点 N 过过点N 作N M a 垂足为为M 连连接A M A N N B 证证明AM MN NB A M M N N B 你能完成这这个证证明吗吗 在解决最短路径问题时问题时 我们们通常利用轴对轴对 称 平移等变变化把已知问问 题转题转 化为为容易解决的问题问题 从 而作出最短路径的选择选择 如图图13 4 5 牧马营马营 地在点P处处 每天牧马马人要 赶着马马群先到草地a上吃草 再到河边边b饮饮水 最后回到营营地 请请你设计设计 一条放牧路线线 使其 所走的总总路程最短 知2 讲 例3 来自 点拨 图图13 4 5 要使其所走的总总路程最短 可联联想到 两点之间间 线线段最短 因此需将三条线线段转转化到一条线线段 上 为为此作点P关于直线线a的对对称点P1 作点P关 于直线线b的对对称点P2 连连接P1P2 分别别交直线线a b于点A B 连连接PA PB 即得放牧所走的最 短路线线 知2 讲 来自 点拨 导导引 如图图13 4 5 作点P关于直线线a的对对称点P1 关于 直线线b的对对称点P2 连连接P1P2 分别别交直线线a b于 点A B 连连接PA PB 由轴对轴对 称的性质质知 PA P1A PB P2B 所以先到点A处处吃草 再到点B 处饮处饮 水 最后回到营营地 按这样这样 的路线线放牧所走 的总总路程最短 知2 讲 解 来自 点拨 解决 两线线 一点 型最短路径问题问题 要作 两次轴对轴对 称 从而构造出最短路径 知2 讲 知2 练 来自 点拨 1 为庆为庆 祝教师节师节 阳光中学八年级级 2 班举举行了一次文艺艺 晚会 桌子摆摆成两条线线 如图图中的OA OB AOB 90 桌子OA上摆满摆满 了苹果 桌子OB上摆满摆满 了橘子 坐在C处处的小华华想先拿苹果再拿橘子 然后回到座位C 处处 请请你帮助小华设计华设计 一条行走路线线 使小华华所走路 程最短 要求 作出路线图线图 并用字母表示出所走路 线线 知2 练 来自 典中点 2 茅坪民族中学八 2 班举举行文艺艺晚会 桌子摆摆成如 图图所示两直排 图图中的AO BO AO桌面上摆满摆满 了橘子 OB桌面上摆满摆满 了糖果 站在C处处的学生 小明先拿橘子再拿糖果 然后到D处处座位上 请请 你帮助他设计设计 一条行走路线线 使其所走的总总路程 最短 1 最短路径问题的类型 1 两点一线型的线段和最小 值问题 2 两线一点型线段和最小值问题 3 两点 两线型的线段和最小值问题 4 造桥选址问题 2 解决最短路径问题的方法 借助轴对称或平移的知 识 化折为直 利用 两点之间 线段最短 或 垂线段最短 来求线段和的最小值 1 请请你完成教材P91 P93复习题习题 13T15 2 补补充 请请完成 典中点 剩余部分习题习题 必做