1 3 1柱体 锥体 台体的表面积与体积 第一章 1 3空间几何体的表面积与体积 学习目标1 了解柱体 锥体 台体的表面积与体积的计算公式 2 理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系 并能利用计算公式求几何体的表面积与体积 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一棱柱 棱锥 棱台的表面积 特别提醒棱柱 棱锥 棱台的侧面积与表面积 将棱柱 棱锥 棱台的侧面展开 其侧面展开图分别是由若干个平行四边形 若干个三角形 若干个梯形组成的平面图形 侧面展开图的面积就是棱柱 棱锥 棱台的侧面积 棱柱 棱锥 棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和 展开图 知识点二圆柱 圆锥 圆台的表面积 2 r2 2 rl 2 r r l r2 rl r r l r l rl r 2 r2 r 2 r2 r l rl 知识点三柱体 锥体与台体的体积公式 底面积 高 底面积 高 上 下底面面 积 高 1 锥体的体积等于底面面积与高之积 2 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 3 斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解 其中l为侧棱长 c为底面周长 思考辨析判断正误 题型探究 例1现有一个底面是菱形的直四棱柱 它的体对角线长为9和15 高是5 求该直四棱柱的侧面积 类型一柱体 锥体 台体的侧面积 解答 解如图 设底面对角线AC a BD b 交点为O 对角线A1C 15 B1D 9 a2 52 152 b2 52 92 a2 200 b2 56 该直四棱柱的底面是菱形 AB 8 直四棱柱的侧面积S 4 8 5 160 反思与感悟空间几何体的表面积的求法技巧 1 多面体的表面积是各个面的面积之和 2 组合体的表面积应注意重合部分的处理 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 跟踪训练1 1 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为A 20 B 24 C 28 D 32 解析 答案 解析由三视图可知 组合体的底面圆的面积和周长均为4 圆柱的侧面积S柱侧 4 4 16 所以组合体的表面积S 8 16 4 28 故选C 2 圆台的上 下底面半径分别是10cm和20cm 它的侧面展开图的扇环的圆心角是180 求圆台的表面积 解答 解如图所示 设圆台的上底面周长为ccm 由于扇环的圆心角是180 则c SA 2 10 解得SA 20cm 同理可得SB 40cm 所以AB SB SA 20cm 所以S表 S侧 S上 S下 10 20 20 102 202 1100 cm2 例2 1 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 类型二柱体 锥体 台体的体积 解析 答案 解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成 圆柱的底面半径为1 高为2 体积为2 2 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为A 9B 10C 11D 解析 解析由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形 高是3的直四棱柱的基础上 答案 所以V 4 3 1 11 反思与感悟 1 求简单几何体的体积 若所给的几何体为柱体 锥体或台体 则可直接利用公式求解 2 求以三视图为背景的几何体的体积 应先根据三视图得到几何体的直观图 然后根据条件求解 跟踪训练2已知某圆台的上 下底面面积分别是 4 侧面积是6 则这个圆台的体积是 解析 答案 解析设圆台的上 下底面半径分别为r和R 母线长为l 高为h 则S上 r2 S下 R2 4 r 1 R 2 S侧 r R l 6 命题角度1等体积变换法例3如图 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体 E为AA1的中点 F为CC1上一点 求三棱锥A1 D1EF的体积 类型三几何体体积的求法 解答 解由 又三棱锥F A1D1E的高为CD a 引申探究例3中条件改为点F为CC1的中点 其他条件不变 如图 求四棱锥A1 EBFD1的体积 解答 所以四边形EBFD1是菱形 连接EF 则 EFB FED1 因为三棱锥A1 EFB与三棱锥A1 FED1的高相等 所以 反思与感悟四面体的任何一个面都可以作为底面 只需选用底面积和高都易求的形式即可 跟踪训练3如图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 求点A到平面A1BD的距离d 解答 解在三棱锥A1 ABD中 AA1 平面ABD AB AD AA1 a 命题角度2割补法求体积例4如图 在多面体ABCDEF中 已知平面ABCD是边长为4的正方形 EF AB EF 2 EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3 求该多面体的体积 解答 AB 2EF EF AB S EAB 2S BEF V三棱锥F EBC V三棱锥C EFB 多面体的体积V V四棱锥E ABCD V三棱锥F EBC 16 4 20 反思与感悟割补法是求不规则几何体体积的常用求法 解此类题时 分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体 且体积易求 跟踪训练4如图 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截 截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3 则该几何体的体积为A 5 B 6 C 20 D 10 答案 解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱 如图 则圆柱的体积为 22 5 20 故所求几何体的体积为10 解析 达标检测 1 2 3 4 1 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱的表面积与侧面积的比是 答案 5 解析设圆柱底面半径 母线长分别为r l 由题意知l 2 r S侧 l2 4 2r2 S表 S侧 2 r2 4 2r2 2 r2 2 r2 2 1 解析 答案 1 2 3 4 5 解析设圆锥的底面半径为r 母线长为l 解析 3 已知某正三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的表面积为 底面三角形的高为3 设底面正三角形的边长为a 解析 答案 1 2 3 4 5 4 若圆台的高是12 母线长为13 两底面半径之比为8 3 则该圆台的表面积为 解析 1 2 3 4 5 答案 216 r R 3 8 r 3 R 8 S侧 R r l 3 8 13 143 则表面积为143 32 82 216 解析设圆台上底与下底的半径分别为r R 5 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 E为线段B1C上的一点 则三棱锥A DED1的体积为 1 2 3 4 5 解析 答案 解析 1 多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和 2 有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面 就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解 而对于圆台有时需要将它还原成圆锥 再借助相似的相关知识求解 3 S圆柱表 2 r r l S圆锥表 r r l S圆台表 r2 rl Rl R2 4 对柱体 锥体 台体的体积公式的四点说明 1 等底 等高的两个柱体的体积相同 2 等底 等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出 等底 等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍 规律与方法 3 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 4 求台体的体积转化为求锥体的体积 根据台体的定义进行 补形 还原为锥体 采用 大锥体 减去 小锥体 的方法求台体的体积