海南省海南中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（考试时间：2019年11月；总分：150分；总时量：120分钟）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上;2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;4考试结束后，请将答题卡上交。第一卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将所选答案填涂在答题卡相应位置）1. 下列关系中正确的是( )A. B. C. D. 2函数的定义域是( )ABCD3. 函数与的图象( )A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D关于直线轴对称4. 已知命题：，则该命题的否定是( ) A. B. C. D. 5下列各对函数中，表示同一函数的是( )A与B与C与D与6. 设函数，则( )A. 37 B. 26 C. 19 D. 137.下列命题中，不正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则8. 下列函数中，在区间上单调递减的是( )A. B. C. D. 9. 若，则( )A. B. C. D. 10.已知，若定义在上的函数满足对，都有，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 11. 若直角三角形的周长为定值2，则的面积的最大值为( )A. B. C. 1 D. 12. 正实数满足，若不等式对任意正实数以及任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )A BCD第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若幂函数的图象过点，则.14. 计算：.15. 某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆300个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加50个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为 ；并写出该函数的一个性质(比如：单调性、奇偶性、最值等)： .16.已知为定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则不等式的解为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题10分）设全集，集合， .(1)求()； (2)，求.18.（本题12分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，.(1)求时的解析式；(2)在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).19.（本题12分）已知集合.(1)若集合，求此时实数的值；(2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围20（本题12分）定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增(1)求，值；(2)证明：函数是偶函数；(3)解不等式.21.（本题12分）如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米. 现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米(1) 设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；(2) 当的长度是多少时，矩形的面积最小？最小面积是多少？22(本题12分)已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围.海南中学20192020学年第一学期期中考试高一数学 参考答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）题号123456789101112答案CBADBACBADDC二、填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）13； 14 ； 15. ；(3分，其中解析式2分，定义域1分)该函数的性质可以从以下角度回答(只需要答对一个即可)： (2分)该函数为增函数；该函数不是奇函数，也不是偶函数；当时，的最小值为300；当时，的最大值为750；该函数的值域为.16. .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （共6小题，总分70分）17（本题10分）设全集，集合， .(1)求()； (2)，求.解：(1)全集，又() 5分 (2)，又 . 10分 18.（本题12分）已知函数是定义在上的偶函数，且时，.(1)求时的解析式；(2)在如图坐标系中作出函数的大致图象；写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).解：(1)设，则，函数是定义在上的偶函数，即时，. 5分 (2)，故图象如下图所示：(提示：图象过点) 8分 由图可知：函数的单调递增区间为：； 10分 函数的单调递减区间为：. 12分 19.（本题12分）已知集合.(1)若集合，求此时实数的值；(2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围解：(1)由韦达定理知此时满足 4分 (2)由是的充分条件，知， 5分又， 6分 时，由 有，满足， 8分 时，由 有，满足， 10分时，不满足. 11分 综上所述，实数的取值范围是 12分20（本题12分）定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增(1)求，值；(2)证明：函数是偶函数；(3)解不等式.解：(1)令，则 2分 令，则 4分 (2)函数的定义域为，.令，则，为定义域上的偶函数 8分 (3)据题意，函数在区间上单调递增，且故函数图象大致如下：由，或，或. 12分 21.（本题12分）如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米. 现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米(1) 设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；(2) 当的长度是多少时，矩形的面积最小？最小面积是多少？解：(1)设AN的长为米由题意可知：，由，得, ,，函数定义域为 6分 （2）, 令, 当且仅当, 即, 时, 等号成立.即当AN的长为8米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为96平方米 12分 22(本题12分)已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围.解：(1)由题可知，函数是定义在上的奇函数，且，则，解得. 3分 函数在上单调递增，证明如下： 4分任取，且，且，于是，所以在上单调递增. 7分(2)由题意，任意的，总存在，使得成立转化为存在，使得，即.8分由(1)知函数在上单调递增，9分，在上单调递增，.10分 故有 . 即正实数的取值范围为.12