应用举例第1课时仰角、俯角与圆弧问题见B本P841身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是(D)同学甲乙丙丁放出风筝线长140 m100 m95 m90 m线与地面夹角30454560A.甲B乙C丙D丁【解析】 设风筝的线长、风筝高分别为l，h，线与地面的夹角为，所以hlsin，代入计算，比较大小2如图2829，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得A点的仰角为60，则物体AB的高度为(A)A10米 B10米 C20米 D.米图28293如图28210，在两建筑物正中间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角为60，又从A点测得D点的俯角为30，若旗杆底G点为BC的中点，则矮建筑物的高CD为(A)A20米 B10米C15米 D5米图282104如图28211，O的半径为4 cm，PA，PB是O的两条切线，APB60，则AP_4_cm_图282115如图28212，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30，底部D处的俯角为45，则这个建筑物的高度CD_721_米(结果可保留根号)图282126如图28213，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50米的点A处测得码头B的俯角EAB为15，码头D的俯角EAD为45，点C在线段BD的延长线上，ACBC，垂足为C，求码头B，D之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27)图28213解：AEBC，ADCEAD45.又ACCD，CDAC50.AEBC，ABCEAB15.又tanABC，BC185.2，BDBCCD185.250135(米)答：码头B，D之间的距离约为135米图282147. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹如图28214，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45和60，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离(结果保留根号)解：由题意得，ECA45，FCB60，EFAB，CADECA45，CBDFCB60，ADCCDB90，在RtCDB中，tanCBD，BD17米，ADCD51米，ABADBD5117.答：A，B之间的距离为(5117)米8如图28215，甲楼AB的高度为123 m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45，测得乙楼底部D处的俯角为30，求乙楼CD的高度(结果精确到0.1 m，取1.73)图28215第8题答图解：如图，过点A作AECD于点E，根据题意，CAE45，DAE30.在RtADE中，DEAB123，DAE30，AEDE123.在RtACE中，由CAE45，得CEAE123，CDCEDE123(1)335.8(m)答：乙楼CD的高度为335.8 m.图282169. 如图28216，小明为了测量小山顶上的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60，塔底E的仰角为30，求塔高。(精确到0.1米，1.732)解： 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60，塔底E的仰角为30。 DBC 60，EBC 30 DBE DBCEBC6030 30又 BCD90 BDC 90DBC 9060 30 即 BDE 30 BDE DBE，BEDE. 设ECx，则BE2EC2x，BCxDEBE2x，DCECDEx2x3x 又 在A处测得塔尖D的仰角为45，AB73.2 ACD为等腰直角三角形，即ACDC3x，BCACAB3x73.2 x3x73.2，即1.732x3x73.2，2.268x73.2，x32.3(米)故塔高约为64.6米10校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28217)：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使CAD30，CBD60.(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：1.73，1.41)；(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由图28217解：(1)由题意得：在RtADC中，AD2136.33.在RtBDC中，BD712.11，所以ABADBD36.3312.1124.2224.2(米)(2)校车从A到B用时2秒，所以该车速度约为24.2212.1(米/秒)因为12.13 60043 560，所以该车速度约为43.56千米/时，大于40千米/时，所以此校车在AB路段超速图2821811. 如图28218，在RtABC中，ACB90，点D是边AB上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.(1)求证：BDBF；(2)若CF1，cosB，求O的半径解：(1)证明：连接OE.AC与O相切于点E，OEAC.OEA90.ACB90，OEAACB，OEBC.OEDF.OEOD，OEDODE，FODE，BDBF.(2)设BC3x，则AB5x，又CF1，BF3x1，由(1)知BDBF，BD3x1，OE，AO5x.OEBF.AOEB，即，解之，得：x.O的半径为.第2课时方位角与坡度问题见A本P861如图28219，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为(A)A. B. C. Dhsin【解析】 sin，l.图28219图282202.河堤横断面如图28220所示，堤高BC6米，迎水坡AB的坡比为1，则AB的长为(A)A12米 B4米C5米 D6米图282213.如图28221是某水库大坝横断面示意图其中AB，CD分别表示水库上下底面的水平线，ABC120，BC的长是50 m，则水库大坝的高度h是(A)A. 25 m B25 mC. 25 m D. m4如图28222，小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔在北偏东30方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为_200_米【解析】 过P作PDAB于D，在RtAPD中，PDADtan30，在RtBPD中，PDBDtan60，(400BD)BD，BD200米，PDBD200米图282225某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1，坝外斜坡的坡度i11，则两个坡角的和为_75_xx【解析】 设两个坡角分别为、，坝内斜坡的坡度i1，即tan，30；坝外斜坡的坡度i11，即tan1，45，304575.图282236一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图28223位置时，AB3 m已知木箱高BE m，斜面坡角为30，求木箱端点E距地面AC的高度EF.解：连结AE，在RtABE中，已知AB3，BE，AE2又tanEAB，EAB30在RtAEF中，EAFEABBAC60，EFAE sinEAF2sin6023答：木箱端点E距地面AC的高度是3 m.图282247某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图28224)救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD40米，B处在C处的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，那么谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43)【解析】 在直角CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙到达B处所需的时间，比较二者之间的大小即可解：由题意得 BCD55，BDC90，tanBCD，BDCDtanBCD40tan5557.2(米)cosBCD，BC70.2(米)t甲1038.6(秒)，t乙35.1(秒)t甲t乙答：乙先到达B处8如图28225，学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角ABC30，斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比改为13(即CD与BC的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.图28225【解析】 在RtABC中，利用三角函数即可求得BC，AC的长，然后在RtBCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据ADACCD即可求解解：在RtABC中，ABC30，ACAB6，BCABcosABC126.斜坡BD的坡比是13，CDBC2，ADACCD62.答：开挖后小山坡下降的高度AD为(62)米9如图28226，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(iCEED，单位：m)图28226【解析】 作BFAD于点F，在RtABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在RtCED中，利用坡比的定义即可求得ED的长，进而即可求得AD的长解：如图所示，过点B作BFAD于点F，可得矩形BCEF，EFBC4，BFCE4.在RtABF中，AFB90，AB5，BF4，由勾股定理可得AF3.又在RtCED中，i，ED2CE24