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27.2相似三角形专题一 相似形中的开放题1 如图,在正方形网2 格中,点A、B、C、D都是格点,点E是线段AC上任意一点如果AD=1,那么当AE=时,以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似1 已知:如图,ABC中,点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC、BE,BDE+BCE=180.(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得添加字母和线);(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似的理由.专题二 相似形中的实际应用题3如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=n,且量得CD=b,求厚度x.专题三 相似形中的探究规律题4某班在布置新年联欢晚会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图在RtABC中,C90,AC30 cm,AB50 cm,依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A24 B25 C26 D275如图,在RtABC中,C=90,AC=4,BC=3(1)如图,四边形DEFG为ABC的内接正方形,求正方形的边长;(2)如图,正方形DKHG,EKHF组成的矩形内接于ABC,求正方形的边长; (3)如图,三个正方形组成的矩形内接于ABC,求正方形的边长; (4)如图,n个正方形组成的矩形内接于ABC,求正方形的边长专题四 相似形中的阅读理解题6某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去,例如,可以定义:圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形;相似扇形有性质:弧长比等于半径比,面积比等于半径比的平方,请你协助他们探索下列问题: (1)写出判定扇形相似的一种方法:若 ,则两个扇形相似;(2)有两个圆心角相同的扇形,其中一个半径为a,弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为 ;(3)如图1,是完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120,AB为30cm,现要做一个和它形状相同,面积是它的一半的纸扇(如图2),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径. 图1 图2专题五 相似形中的操作题7宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;第四步:过E作EFAD,交AD的延长线于F请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形8如图,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到ABD和ECF,固定ABD,并把ABD与ECF叠放在一起(1)操作:如图,将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处,ECF绕点 F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合)求证:BHGD=BF2;(2)操作:如图,ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合), 且CF始终经过点A,过点A作AGCE,交FE于点G,连接DG探究:FD+DG= DB,请给予证明专题六 相似形中的综合题9正方形ABCD的边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,且始终保持AMMN当BM=时,四边形ABCN的面积最大10如图,在锐角ABC中,AC是最短边,以AC的中点O为圆心,AC长为半径作O,交BC于E,过O作ODBC交O于D,连接AE、AD、DC(1)求证:D是的中点;(2)求证:DAO =B +BAD;(3)若,且AC=4,求CF的长. 【知识要点】1平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例.2平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.3平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.4如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.5如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.6如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.7相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8相似三角形对应高的比等于相似比.9相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1平行线分线段成比例时,一定找准对应线段.2当已知两个三角形有一组对应角相等,利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时,比例式常有两种情况,考虑不全面是遗漏解的主要原因.3数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性,规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想,平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1相似三角形对应角平分线的比等于相似比;相似三角形对应中线的比等于相似比.2在平面几何中,求图形中等积式或等比式时,一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形,再从理论上证明观察结论的正确性,最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1或 【解析】根据题意得AD=1,AB=3,AC=, A=A,若ADEABC时,即,解得AE=.若ADEACB时,即,解得AE=.当AE=或时,以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似2解:(1)ADEACB,CEFDBF,EFBCFD (不唯一). (2)由BDE+BCE=180,可得ADE=BCE. A=A,ADEACB; =. A=A, AEBADC;BDE+BCE=180,BCE+ECF=180, ECF=BDF, 又F=F, CEFDBF;=,而F=F,EFBCFD.3解: OA:OCOB:ODn 且AOBCOD,AOBCOD. OA:OCAB:CDn , 又CDb,AB=CDn nb,x.4C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n,且每条纸条的长度都不小于5cm,设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N,因为AMNACB,所以又因为AM=AC-1n=30-n,MN5 cm,所以,得n26.25,所以n最多取整数26 5解:(1)在题图中过点C作CNAB于点N,交GF于点M 因为C=90,AC=4,BC=3,所以AB=5 因为5CN=34,所以CN=因为GFAB,所以CGF=A,CFG=B,所以CGFCAB,所以设正方形的边长为x,则,解得所以正方形的边长为 (2)同(1),有,解得 (3)同(1),有,解得 (4)同(1),有,解得 6解:(1)答案不唯一,如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例,设另一个扇形的弧长为x,则=,x=2m.(3)两个扇形相似,新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等,等于120.设新做扇形的半径为,则=,=15,即新做扇形的半径为15.7证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,N为BC的中点,.在RtDNC中,NE=ND,.,故矩形DCEF为黄金矩形.8解:(1)证明:将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,B=D. 将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处,ECF绕点F在BD边上方左右旋转,BF=DF.HFG=B,GFD=BHF,BFHDGF, ,BHGD=BF2. (2)证明:AGCE,FAGC.CFE=CEF,AGF=CFE,AF=AG. BAD=C,BAF=DAG,ABFADG,FB=DG,FD+DG=DB,9210解:(1)证明:AC是O的直径,AEBC. ODBC,AEOD,D是的中点. (2)方法一:证明:如图,延长OD交AB于G,则OGBC .AGD=B. OA=OD,DAO=ADO. ADO=BAD+AGD ,DAO=B +BAD. 方法二:证明:如图,延长AD交BC于H ,则ADO=AHC.AHC=B +BAD,ADO =B +BAD. OA=OD,DAO=B +BAD. (3) AO=OC,.,. ACD=FCE,ADC=FEC=90,ACDFCE. ,即,CF=2.
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