27.2.5利用两角及直角三角形判定三角形相似定理基础训练知识点1 用两组角判定两三角形相似1.如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于点D,则图中的相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对2.如图,在梯形ABCD中,ADBC,AC与BD相交于点O,则下列三角形中,与BOC一定相似的是()21世纪*教育网A.ABDB.DOAC.ACDD.ABO3.如图,在ABC中,BD,CE是高,则与BOE相似的三角形有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列各组条件中,不能判定ABC与ABC相似的是()A.A=A,B=BB.C=C=90,A=35,B=55C.A=B,A=BD.A+B=A+B,A-B=A-B5.如图,已知1=2=3,则下列表达式正确的是()A.=B.=C.=D.=6.下列所给两个三角形不一定相似的是()A.两个等腰直角三角形B.两个等边三角形C.两个直角三角形D.各有一个角是100的两个等腰三角形7.如图,D,E分别在ABC的边AB,AC上,且1=2=B,则图中相似三角形有()A.4对 B.3对 C.2对D.1对8.如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:ABEDCF;=;DP2=PHPB;=.其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)21cnjy.com知识点2 用直角三角形判定两三角形相似9.如图,已知ACB=ABD=90,AB=,AC=2,当AD=时,ABD与BCA相似.10.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是()A.2 B.3 C.5D.611.如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于点D,下列说法中:ACBC=ABCD;AC2=ADDB;BC2=BDBA;CD2=ADDB,正确的个数是()www.21-cn-jy.comA.1B.2C.3D.412.如图,正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,Q在线段BC上,ADP与QCP相似时,求BQ的值.www-2-1-cnjy-com提升训练考查角度1 利用相似三角形证比例13.如图,AD,BE是钝角三角形ABC的边BC,AC上的高,求证:=.考查角度2 利用比例式求线段的长14.如图,D是ABC的边AC上的一点,连接BD.已知ABD=C,AB=6,AD=4,求线段CD的长.考查角度3 利用相似三角形解四边形问题15.如图,四边形ABCD是正方形,BD是对角线,BE平分DBC交DC于点E,点F是BC延长线上一点,且CE=CF,BE的延长线交DF于点M.(1)求证:BMDF;(2)若正方形ABCD的边长为2,求MEMB.考查角度4 利用相似三角形解与全等相关的问题16.如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,ABC与DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证:(1)ACEBCD;(2)=.17.如图,在ABC中,C=90,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC,AB于点E,F.21世纪教育网版权所有(1)若B=30,求证:以A,O,D,E为顶点的四边形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,连接AD,求O的半径和AD的长.18.如图,在直角坐标系中,RtOAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动,当两个动点运动了x秒(0x4)时,解答下列问题:(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示).(2)设OMN的面积为S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?(3)在两个动点运动的过程中,是否存在某一时刻,使OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.21教育网参考答案1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】9.【答案】3或310.【答案】C解：连接EF.若四边形EGFH为菱形,则EFGH,假设线段EF,GH交于点O,则O为AC中点,故AO=AC=2,又ABCAOE,则=,解得AE=5,故选C.21cnjycom11.【答案】C12.解:由题意,得D=C=90.当ADPPCQ时,=,即=,得CQ=.故BQ=1-=.当ADPQCP时,=,即=,得QC=1,故BQ=0.所以当ADP与QCP相似时,BQ的值为0或.跳出误区:因为题中D=C=90,所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能,即ADPPCQ或ADPQCP,此题容易因只考虑一种情况而漏解.21cnjy13.证明:在ACD和BCE中,D=E=90,ACD=BCE,ACDBCE,=.【来源：21世纪教育网】14.解:A=A,ABD=C,ABDACB,=,AB2=ADAC.又AB=6,AD=4,AC=9,CD=AC-AD=5.15.(1)证明:四边形ABCD是正方形,BC=DC.又CE=CF,BCE=DCF=90,BCEDCF.2-1-c-n-j-yCBE=CDF.又BEC=DEM,CBE+BEC=CDF+DEM=90.BMDF.21*cnjy*com(2)解:BE平分DBC,根据(1)可知:BDM=F=67.5,BD=BF,DM=FM=DF.正方形ABCD的边长为2,BD=BF=2,CE=CF=2-2.在RtDCF中,DF2=DC2+CF2=4+(2-2)2=16-8.DM2=4-2.CDF=CBE=DBM,DME=BMD,DMEBMD.=.DM2=MEMB.MEMB=4-2.16.证明:(1)ABC与DCE都是等边三角形,AC=BC,CE=CD,ACB=DCE=60.ACB+ACD=DCE+ACD,即ACE=BCD.ACEBCD(SAS).(2)ABC与DCE都是等边三角形,AB=AC,CD=ED,ABC=DCE=60,=,ABDC,ABG=GDC,BAG=GCD,ABGCDG,=.同理,=.=.17.(1)证明:连接OD,OE,ED,如图.BC与O相切于点D,ODBC,ODB=90=C.ODAC.C=90,B=30,A=60.又OA=OE,AOE为等边三角形.AE=OA=OD.四边形AODE是平行四边形.又OA=OD,四边形AODE是菱形. (2)解:连接OD,DF,如图.设O的半径为r,由(1)知ODAC,OBDABC.=,即=,解得r=.O的半径为.ODAC,DAC=ADO.OA=OD,ADO=DAO.DAC=DAO.AF是O的直径,ADF=90=C.ADCAFD.=.AD2=ACAF.AC=6,AF=2=,AD2=6=45.AD=3.18.解:(1)由题意知,MA=x,ON=1.25x.在RtOAB中,由勾股定理,得OB=5.如图,作NPOA于点P,则NPAB.OPNOAB.=,即=,解得OP=x,PN=x,点N的坐标是.(2)在OMN中,OM=4-x,OM边上的高PN=x,S=OMPN=(4-x)x=-x2+x.S与x之间的函数表达式为S=-x2+x(0x4).配方,得S=-(x-2)2+.当x=2时,S有最大值,最大值是.(3)存在某一时刻,使OMN是直角三角形.理由如下:如图,若OMN=90,则MNAB,此时OM=4-x,ON=1.25x.MNAB,OMNOAB,=,即=,解得x=2.如图,若ONM=90,则ONM=OAB,此时OM=4-x,ON=1.25x.ONM=OAB,MON=BOA,OMNOBA,=,即=,解得x=.综上所述,x的值是2或.