全国卷高考圆锥曲线真题参考答案与试题解析一解答题（共21小题）1（2015新课标II）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m0），得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，则判别式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，则x1+x2=，则xM=，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM=，即kOMk=9，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值（2）四边形OAPB能为平行四边形直线l过点（，m），由判别式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，即k2m29b29m2，b=mm，k2m29（mm）29m2，即k2k26k，则k0，l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为xP，由得，即xP=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2，解得k1=4或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，当l的斜率为4或4+时，四边形OAPB能为平行四边形【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大2（2015河北）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a0）交于M，N两点（）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？（说明理由）【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程（II）存在符合条件的点（0，a），设P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2直线方程与抛物线方程联立化为x24kx4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=k1+k2=0直线PM，PN的倾斜角互补OPM=OPN即可证明【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y=，曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：ya=，化为同理可得曲线C在点N处的切线方程为：（II）存在符合条件的点（0，a），下面给出证明：设P（0，b）满足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2联立，化为x24kx4a=0，x1+x2=4k，x1x2=4ak1+k2=+=当b=a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，OPM=OPN点P（0，a）符合条件【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（2014新课标I）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（6分）（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x2（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力4（2014新课标II）已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g（x）0是否成立”的问题；对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值【解答】解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，当且仅当ex=ex即x=0时，f（x）=0，函数f（x）在R上为增函数（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，当2b4，即b2时，g（x）0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，x0时，g（x）0，符合题意当b2时，若x满足2ex+ex2b2即，得，此时，g（x）0，又由g（0）=0知，当时，g（x）0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为2（）1.41421.4143，根据（）中g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得当b=2时，由g（x）0，得，从而；令，得2，当时，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值为0.693【点评】1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口3本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的5（2014广西）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|（）求C的方程；（）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程【分析】（）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程（）设l的方程为 x=my+1 （m0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程【解答】解：（）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p0），可得x0=，点P（0，4），|PQ|=又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，+=，求得 p=2，或 p=2（舍去）故C的方程为 y2=4x（）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m0），代入抛物线方程可得y24my4=0，显然判别式=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1）又直线l的斜率为m，直线l的方程为 x=y+2m2+3过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，把线l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0，y3+y4=，y3y4=4（2m2+3）故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），|MN|=|y3y4|=，MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，+DE2=MN2，4（m2+1）2 +=，化简可得 m21=0，m=1，直线l的方程为 xy1=0，或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题6（2013新课标）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（ab0）右焦点的直线x+y=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（）求M的方程（）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【分析】（）把右焦点（c，0）代入直线可解得c设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c（）由CDAB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|把直线x+y=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值【解答】解：（）把右焦点（c，0）代入直线x+y=0得c+0=0，解得c=设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，相减得，又=，即a2=2b2联立得，解得，M的方程为（）CDAB，可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t26=0，