. 3.8：基本不等式的应用【知识点1：利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件：_一正_、_二定_、_三相等_.】基本不等式的应用最值问题1.由基本不等式导出的几个结论.2利用基本不等式求最值常用技巧(1)“1”的代换(2)折项(3)添项(4)配凑因式例题：分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正(1) 求函数的值域(2) 求的最大值(3) 已知，求的最小值解析：(1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最值时，等号成立的条件正解：，但时，不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件，因此取不到最小值.此函数值域为(3)此解答过程错误，它没有找出定值条件，只是形式的套用公式.变式1：已知正数x，y满足，求的最小值分析：灵活应用“1”的代换在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以1”、“除以1”或将不等式中的某个常数用等于1的式子代替本例中可将分子中的1用代替，也可以将式子乘以.点评：(1)本题若由，得则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等变式2：已知且，求的最小值分析：要求的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等点评：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法二通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)变式3：的值域为_.分析：分子是x的二次式，分母是一次式，适当将分子变形可化为的表达式或由分母构造平方差，则可化为“积为定值”的和式变式4：若，求的最小值变式5：(1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？变式6：随着经济建设步伐的加快，汽车已步入家庭，公路上交通日益繁忙为确保交通安全，交通部门规定：某事故易发地段内的车距正比于车速平方与车身长的积，且比例系数为，那么在交通繁忙时，该如何规定车速，才能保证此地段通过的车流量Q最大？变式7：设，且恒成立，则m的取值范围是_变式8：A. B. C. D. 4变式9：求的最值若，则代数式的大小关系是_若，则代数式有何大小关系？【知识点2：基本不等式的应用最值问题】1.算术平均数与几何平均数设a、b是任意两个正数，把_叫做正数a、b的算术平均数；把_叫做正数a、b的几何平均数2基本不等式如果a、b是正数，那么_，当且仅当_时，等号成立例题：基本不等式的应用最值问题3极值定理(1)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值(2)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值破疑点：(1)在利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：各项均为正数；含变数的各项的和(或积)必须是常数；当含变数的各项均相等时取得最值三个条件可简记为：一正、二定、三相等，这三个条件极易遗漏而导致解题失识，应引起足够的重视(2)记忆口决：“和定积最大，积定和最小”例题：已知.(1)若，求的最大值；(2)若，求的最小值变式1：A. B. C. D. 分析：观察已知条件与待比较大小的数列项的下标，可以发现1、4、7成等差，从而问题即转化为比较两个正数的等差中项与等比中项的大小变式2：设，且，则必有( B )A. B. C. D. 点评：关于不等式恒成立的选择题常用特值检验法求解本题中令，则变式3：已知，求函数的最大值分析：求函数的最大值，由极值定理可知条件式为积式，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数即可点评：(1)本小题也可以将解析式展开，使用二次函数配方法求解(2)若使用基本不等式求积的最大值，关键是构造某个和为定值，为使用基本不等式创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备只要将x的系数调整为互为相反数即可使其和为定值.下载可编辑.