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江苏省昆山市2018-2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)一、填空题1.已知倾斜角为90的直线经过点A(2m,3),B(2,1),则m的值为_.【答案】1【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得,解出即可.【详解】倾斜角为90的直线经过点,解得,故答案为1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用,考查了基本概念,属于基础题2.已知直线和直线平行,则的值为_【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系,解得结果.【详解】由题意得,所以,(-1舍).【点睛】本题考查直线平行,考查基本分析求解能力,属基础题.3.若长方体的三个面的对角线分别为,则长方体的对角线长度为_【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为,则,所以,即对角线长为.【点睛】本题考查长方体对角线长,考查基本分析求解能力,属基础题.4.直线被圆截得的弦长等于_【答案】【解析】【分析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为,所以,因此圆心到直线距离为,弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系,考查基本分析求解能力,属基础题.5.圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式,根据条件列方程组,解得结果.【详解】设,则,解得,所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程,考查基本分析求解能力,属基础题.6.半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和,则这两个平面之间的距离是_【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离,再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为,因此这两个平面之间的距离是或【点睛】本题考查球相关性质,考查基本分析求解能力,属基础题.7.过点作直线,使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分,则直线斜率为_【答案】8【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标,再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,则,因为点为AB中点,所以,从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系,考查基本分析求解能力,属基础题.8.如图,在棱长为的正方体中,四面体D 的体积等于_【答案】【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体D 的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积,即.【点睛】本题考查锥体体积,考查基本分析求解能力,属基础题.9.如图,空间四边形中,平面,为1的等边三角形,为棱AC上的一个动点,则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先展开,再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时BD,.【点睛】本题考查利用展开图求距离最值,考查基本分析求解能力,属基础题.10.设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是_【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直,可得|PA|2+|PB|2=10三角换元后,由三角函数的知识可得PA+PB的最大值【详解】由题意可得A(0,0),由于直线mxym+3=0,即 m(x1)y+3=0,显然经过定点B(1,3),注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,则有PAPB,|PA|2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=,则|PA|=sin,|PB|=cos|PA|0且|PB|0,可得0,|PA|+|PB|=sin+cos=2sin+cos)=2sin(+),0,+,当+=时,2sin(+)取得最大值为 2,故答案为:2【点睛】本题考查直线过定点问题,涉及直线的垂直关系和三角恒等变换,正弦函数的定义域和值域,属中档题11.关于异面直线,有下列四个命题过直线有且只有一个平面,使得 过直线有且只有一个平面,使得在空间存在平面,使得, 在空间不存在平面,使得,其中,一定正确的是_【答案】【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确,举反例说明命题错误.【详解】过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交,即确定一个平面,因为若存在平面,使得,则,与为异面直线矛盾,故过直线有且只有一个平面,使得;当时可得,这与不一定垂直矛盾,所以错;过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交,即确定一个平面,过直线上任一点Q作直线平行线,则直线必相交,即确定一个平面,因此平面平面,再任作平面,使得, ,即得,;若,则,与为异面直线矛盾,所以不存在平面,使得,;综上,正确的是【点睛】本题考查线面位置关系,考查基本分析判断与论证能力,属中档题.12.已知圆,圆,若圆M上存在点P,过点P做圆O的两条切线,切点为A、B,使得,则实数的取值范围是_【答案】【解析】设P(x,y),sinOPAsin30,则x2y24.又P在圆M上,则(xa)2(ya4)21.由得13,所以a. 13.已知P为平面内一点,且,若,则点P的横坐标等于_【答案】【解析】【分析】先根据条件化简得方程组,解得点P的横坐标.【详解】设,则由,得,即,解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标,考查基本分析求解能力,属基础题.14.若实数:满足,则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征,转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系,再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为,所以在单位圆上,且因为,所以,因为 ,其中为AB中点.又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质,考查综合分析转化求解能力,属难题.二、解答题15.已知直线经过点且斜率为(1)求直线的一般式方程(2)求与直线平行,且过点的直线的一般式方程(3)求与直线垂直,且过点的直线的一般式方程【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)先写点斜式方程,再化一般式,(2)根据平行设一般式,再代点坐标得结果,(3)根据垂直设一般式,再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点,所以 (3) 设所求方程为因为过点,所以 【点睛】本题考查直线方程,考查基本分析求解能力,属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1,高为3,在圆锥中有一个半径为的内接圆柱(1)试用表示圆柱的高(2)当为何值时,圆柱的全面积最大,最大全面积为多少【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据比例关系求结果,(2)先列圆柱的全面积函数关系式,再根据二次函数性质求最值.【详解】(1)(2)圆柱的全面积当时,答:当时,圆柱的全面积最大,最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.17.如图,在直三棱柱中,点D为AB中点,若,求证:(1) (2)【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)连接交于,则根据三角形中位线性质得,再根据线面平行判定定理得结果,(2)根据线面垂直判定定理依次证得即得结论.【详解】连接交于,连接DE,因为直三棱柱,所以四边形为矩形,所以为的中点,又因为为的中点,所以,因为,所以(2)因为四边形为矩形,所以,又,所以,因为所以,因为四边形为矩形,所以四边形为正方形,,因为所以.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.18.如图,在四棱锥中,平面 平面,四边形为正方形,为等边三角形,是中点,平面与棱交于点.()求证:;()求证:平面;(III)记四棱锥的体积为,四棱锥的体积为,直接写出的值.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】()由为正方形,可得再由线面平行的判定可得平面.再由面面平行的性质可得;()由为正方形,可得结合面面垂直的性质可得平面从而得到.再由已知证得由线面垂直的判定可得平面;()由()知,利用等积法把用表示,则的值可求【详解】(I)证明:因为正方形,所以.因为平面,平面,所以平面.因为平面,平面平面,所以.(II)证明:因为正方形,所以.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.因为平面,所以.因为为等边三角形,是中点,所以.因为平面,平面,所以平面.(III)解:由()知, 则 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质,考查线面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题19.如图,已知圆O的方程为,过点的直线与圆O交于点、,与负半轴交于点。设,(1)若,求出、两点坐标(2)当直线绕点转动时,试探究是否为定值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设Q坐标表示A点坐标,代入圆方程解得Q坐标,即得直线AB方程,与圆方程联立解得A,B坐标,(2) 设Q坐标表示A、B点坐标,代入圆方程,化简可得.【详解】(1)设,因为,所以,所以,因此,由得(2)设,因为,所以因此,【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.20.如图,已知圆和圆(1)求两圆所有公切线的斜率(2)设为平面上一点,满足:若存在点的无穷多条直线与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的2倍,试求所有满足条件的点P的坐标【答案】(1) 或或,(2) 【解析】【分析】(1)先设公切线方程,再根据圆心到切线距离等于半径列方程,解得结果,(2)设直线点斜式方程,再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系,利用条件列等量关系,最后根据恒成立解得P点坐标.【详解】(1)由题意得公切线斜率存在,设公切线方程为所以所以或, 或,解得或或,(2)设圆和圆的圆心到过P直线距离分别为,则设,过P直线方程为,所以,因此或,或,因为存在无穷多条直线,所以,即【点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关 - 14 -
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