2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想， 本套试卷的总体印象是: 题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学 功底 .1. 纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、 12、 16 题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2. 解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有 所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿 满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体 现了学科之间的联系. 两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得 分 .3. 要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技 巧和能力 . 不管题目难度如何变化，“夯实双基 ( 基础知识、基本方法) ”，对大多数考生来说， 是以不变应万变的硬道理.23i（ 1）复数1i（ A）34i（ B）34i（ C） 34i（ D） 34i【答案】 A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.23i【解析】1i2(3i )(1i )22(12i )34 i .（ 2） . 函数 y1ln( x1)( x2 x21) 的反函数是（ A）2 x 1ye1( x0)（B） ye11( x0)（ C）2 x 1ye1( xR )（ D） ye12 x1( xR )【答案】 D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。【解析】由原函数解得，即，又；在反函数中，故选 D.京翰教育www.zgjhjy .comx1,（ 3） . 若变量x , y 满足约束条件y x,则 z2 xy 的最大值为3 x2 y 5，（ A） 1（ B） 2（ C） 3（D） 4【答案】 C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A (1,1), B(1, 4), C(1,1) 构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选 C.（4） . 如果等差数列中，a3a 4a 5，那么a1a 2.a 7（ A） 14【答案】 C（ B） 21（ C） 28（D） 35a n12【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.7 ( aa )【解析】aaa3a12, a4,aaa177a283454412742（5）不等式2xx6 0 的解集为x1（A）x x2, 或 x 3（B）x x2， 或 1 x 3（ C）x 2x1， 或 x 3（D）x2 x 1， 或 1 x 3【答案】 C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得 -2x 1 或 x 3，故选 C（6）将标号为1，2， 3， 4，5， 6 的 6 张卡片放入3 个不同的信封中若每个信封放2 张， 其中标号为1， 2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ A） 12 种（ B） 18 种（ C） 36 种（D） 54 种【答案】 B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.京翰教育www.zgjhjy .com【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（ 7）为了得到函数ysin(2x) 的图像，只需把函数3y sin(2x) 的图像6（A）向左平移个长度单位（ B）向右平移4个长度单位4（ C）向左平移个长度单位2（D）向右平移个长度单位2【答案】 B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【 解 析 】 ys i n ( x2=) sin 2( x6) ， y12sin(2 x) =sin 2( x3) ， 所 以 将6ys i n ( x2的)图像向右平移6个长度单位得到y4sin(2x) 的图像，故选B.3（8） VA BCuur中，点 D 在 AB 上， C D 平方A C B 若 CBauur，C Ab ， a1 ， b2 ，uuur则 C D（ A）12ab（ B）3321ab（ C）333443ab（ D）ab5555【答案】 B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】 因为 C D 平分A C B ，由角平分线定理得A DC A2=D BC B1，所以 D为 AB 的三等分点，且B.22A DA B(C BC A ) ，所以332121C DC A + A DC BC Aab3333，故选（ 9）已知正四棱锥SA BC D 中， SA23 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ A） 1（B）3（C） 2（ D） 3【答案】 C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【 解 析 】 设 底 面 边 长 为a ， 则 高所 以 体 积京翰教育www.zgjhjy .com，设，则，当 y 取最值时，解得a=0 或 a=4时，体积最大，此时，故选 C.（ 10）若曲线12yx在点1a, a 2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 a（ A） 64（B） 32（ C）16（ D）8【答案】 A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式， 考查考生的计算能力.3313【 解 析 】 y 12x,k1a 2 ， 切 线 方程 是 ya 212a( xa)， 令 x0 ，2221132132ya，令 y20 ， x3 a ，三角形的面积是s3aa2218 ，解得 a64 . 故选A.（ 11）与正方体ABC DA1 B1C 1 D 1 的三条棱 A B 、 C C1 、A1 D 1 所在直线的距离相等的点（ A）有且只有1 个（ B）有且只有2 个（ C）有且只有3 个（ D）有无数个【答案】 D【 解 析 】 直 线上 取 一 点 ， 分 别 作垂 直 于于则分 别 作，垂足分别为M， N， Q，连PM， PN，PQ，由三垂线 定理可得，PNPM； PQ AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以， PM=PN=PQ，即 P 到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（ 12）已知椭圆22xy22C :1( a b 0)ab的离心率为3，过右焦点F 且斜率为2k ( k 0) 的京翰教育www.zgjhjy .com直线与 C 相交于 A、 B两点若AF3 FB ，则 k（ A） 1（B）2（C）3（ D） 2【答案】 B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A， B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l， A1，B 为垂足， 过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得，由，得，即 k=，故选 B.第卷注意事项：1用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。2本卷共10 小题，共90 分。二 填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 4（ 13）已知 a 是第二象限的角，1tan(2 a )，则 tan a3【答案】2【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生 的计算能力 .【 解 析 】 由1tan(2a )44得 tan 2a， 又33t a n a212 t a n4， 解 得21t a n3t a n或t a n2a9，又2a 是第二象限的角，所以3tan.2（ 14）若 ( x)的展开式中xx 的系数是84 ，则 a【答案】 1【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.京翰教育www.zgjhjy .com【解析】展开式中x 的系数是.3333C 9 (a)84 a84,a1（ 15）已知抛物线2C : y2 px ( p 0)的准线为 l ，过 M(1, 0)且斜率为3 的直线与 l 相交于点 A ，与 C 的一个交点为B 若 AMMB ，则 p【答案】 2【命题意图】本题主要考查抛物线