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平面向量的概念与线性运算基础巩固强化1.(文)(2011广西六校联考、北京石景山检测)已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且20,那么()A.B.2C.3 D2答案A解析2,220,.(理)(2012珠海调研)已知ABC及其平面内点M满足0,若存在实数m使得m成立,则m等于()A2 B3 C4 D5答案B解析解法1:由已知条件.如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点延长BM交AC于E,延长CM交AB于F,则E、F分别为AC、AB的中点,即M为ABC的重心(),即3,则m3.解法2:2m,(m2),0,(m2),m3.2(2011广东江门市模拟)若四边形ABCD满足0,()0,则该四边形一定是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案B解析由0知,即ABCD,ABCD.四边形ABCD是平行四边形又()0,0,即ACBD,因此四边形ABCD是菱形,故选B.3(文)如图所示,在ABC中,3,若a,b,则等于()A.abBabC.abDab答案B解析3,()ba.(理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若a,b,则()A.ab B.abC.ab D.ab答案D解析由条件易知,aa(ba)ab.故选D.4(2011广东文)已知向量a(1,2),b(1,0),c(3,4)若为实数,(ab)c,则()A. B.C1 D2答案B解析ab(1,2)(1,0)(1,2),因为(ab)c,所以4460,所以.5(文)(2011惠州模拟)在ABC中,已知D是AB边上一点,若2,则的值为()A1 B.C2 D.答案C解析(),2.(理)(2011厦门模拟)已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,x,则x的值为()A0 B.C. D.答案D解析x1,x.6设e1,e2,若e1与e2不共线,且点P在线段AB上,|AP|PB|4,如图所示,则()A.e1e2B.e1e2C.e1e2D.e1e2答案C解析4,5,()e1e2.7(文)(2011山东济南市调研)如图,在ABC中,P是BN上的一点,若m,则实数m的值为_答案解析(如图)因为kk()k()(1k),所以1km,且,解得k,m.(理)(2011聊城模拟)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中, ,R,则_.答案解析如图,四边形ABCD是平行四边形,且E、F分别为CD、BC中点()()()()(),(),.8(文)(2011合肥模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足,则_.答案解析,1,A、B、C三点共线,.(理)(2012四川文)设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是()A|a|b|且ab BabCab Da2b答案D解析对于A,|a|b|,且ab,可知a与b共线,若反向,则不能满足结论,对于B选项,两向量反向,而C选项ab,同样若反向不能满足而D项显然满足,故选D.点评注意到是与a同向的单位向量,是与b同向的单位向量,故a与b同向9(2012东北三省四市联考)在ABC中,AB2AC2,1,若x1x2(O是ABC的外心),则x1x2的值为_答案解析O为ABC的外心,x1x2,x1x2,由向量数量积的几何意义,|22,4x1x22,又x1x2,x1x2,联立,解得x1,x2,x1x2.10(文)如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知c,d,试用c、d表示、.解析解法一:c,d,由得(2dc),(2cd)解法二:设a,b,因为M、N分别为CD、BC的中点,所以b,a,于是有:解得即(2dc),(2cd)(理)如图,在ABC中,AMAB13,ANAC14,BN与CM交于P点,且a,b,用a,b表示.分析由已知条件可求、,BN与CM相交于点P,B、P、N共线,C、P、M共线,因此,可以设,利用同一向量的两种a,b的线性表示及a、b不共线求解;也可以设,用a、b,来表示与,利用与共线及a、b不共线求解解题方法很多,但无论什么方法,都要抓住“共线”来作文章解析由题意知:a,b,ba,ab.设,则ba,ab.b(ba)ab,a(ab)ab,abab,而a,b不共线且.因此ab.能力拓展提升11.(2011山东青岛质检)在数列an中,an1ana(nN*,a为常数),若平面上的三个不共线的非零向量,满足a1a2010,三点A、B、C共线且该直线不过O点,则S2010等于()A1005 B1006C2010 D2012答案A解析由题意知,a1a20101,又数列an为等差数列,所以S201020101005,故选A.12(文)(2011安徽安庆模拟)已知点P是ABC所在平面内一点,且满足3520,设ABC的面积为S,则PAC的面积为()A.S B.SC.S D.S答案C分析由系数325,可将条件式变形为3()2()0,故可先构造出与,假设P为P点,取AB、BC中点M、N,则(),(),条件式即转化为与的关系解析设AB,BC的中点分别为M,N,则(),(),3520,3()2(),32,即点P在中位线MN上,PAC的面积为ABC面积的一半,故选C.(理)(2011东北三校联考)在ABC中,点P是AB上的一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又t,则t的值为()A. B.C. D.答案C解析,32,即22,2,因此P为AB的一个三等分点,如图所示A,M,Q三点共线,x(1x)(x1)(0x1),(1).,且t(0t1),(1)t(),且1t,解得t,故选C.13已知点A(2,3),C(0,1),且2,则点B的坐标为_答案(2,1)解析设点B的坐标为(x,y),则有(x2,y3),(x,1y),因为2,所以解得x2,y1.14已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足0,则实数的值为_答案2解析如图,D是BC中点,将ABC补成平行四边形ABQC,则Q在AD的延长线上,且|AQ|2|AD|2|DP|,0,又,P与Q重合,又2,2.15(文)已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2,x)、D(6,2x)(1)求实数x,使两向量、共线(2)当两向量与共线时,A、B、C、D四点是否在同一条直线上?解析(1)(x,1),(4,x),x240,即x2.(2)当x2时,.当x2时,(6,3),(2,1),.此时A、B、C三点共线,从而,当x2时,A、B、C、D四点在同一条直线上但x2时,A、B、C、D四点不共线(理)(2011济南模拟)已知ABC中,a,b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足ab,则动点P的轨迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由解析依题意,由ab,得(ab),即()如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于O,则,A、P、D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中点(或ABC的重心)16已知a(2xy1,xy2),b(2,2)(1)当x、y为何值时,a与b共线?(2)是否存在实数x、y,使得ab,且|a|b|?若存在,求出xy的值;若不存在,说明理由解析(1)a与b共线,存在非零实数使得ab,(2)由ab(2xy1)2(xy2)(2)0x2y30.由|a|b|(2xy1)2(xy2)28.由解得或xy1或xy.1设平面内有四边形ABCD和点O,若a,b,c,d,且acbd,则四边形ABCD为()A菱形 B梯形C矩形 D平行四边形答案D解析解法一:设AC的中点为G,则bdac2,G为BD的中点,四边形ABCD的两对角线互相平分,四边形ABCD为平行四边形解法二:ba,dc(ba),AB綊CD,四边形ABCD为平行四边形2(2011银川模拟)已知a、b是两个不共线的向量,ab,ab(,R),那么A、B、C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1答案D解析A、B、C三点共线,与共线,存在tR,使t,abt(ab)tatb,a,b不共线,即1.3设两个非零向量a与b不共线,(1)若ab,2a8b,3(ab)求证:A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使kab和akb共线
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