1 应用偏微分方程与科学计算 讲义 十八 Lecture Notes on Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No 18 马 石 庄 2010 11 15 北京 2 第第 18 讲讲 球函数与柱函数球函数与柱函数 教学目的 教学目的 在一维空间中 边界最简单 只有两个点 在高维空间中 边界 的形状在定解问题求解中起重要作用 边界形状也决定着坐标系的选 取 选取不同的坐标系 直接影响微分方程的类型 在常用曲面坐标 系中方程的变数分离 得到特殊常微分方程 解用特殊函数表示 主要内容 主要内容 1 特殊函数 3 1 1 曲线坐标 4 1 2 二阶常微分方程的级数解 9 1 3 超越函数 16 2 球函数 20 2 1 Legendre 多项式 21 2 2 完备系 25 2 3 位势场多极子展开 31 3 柱函数 34 3 1 Bessel 函数 35 3 2 Bessel 方程特征值问题 39 3 3 柱面波与球面波 41 习题 18 47 3 当面对更为复杂的物理现象 特别是在弦振动的研究中 18 世 纪的数学家们得到了偏微分方程 在 19 世纪这两个课题的地位略有 倒转 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出 得到的常微分方程是 陌生的 并且不能用封闭形式解出 圆柱体和球体位形是三维空间的 两种简单区域 自然有广泛深入的研究 数学家采用无穷级数解 称 为特殊函数 special function 或高级超越函数 Higher Transcendeneal Functions 以便与 sin log 这样的初等超越函数相区别 为了使用这些特殊函数的所有类型 必须知道它们的性质 就象 对初等函数的性质一样熟悉 还因为这些特殊函数更为复杂 所以其 性质也同样复杂 原始论文和教科书中的文献几乎是难以置信地庞 杂 对于 Bessel 函数 球函数 椭球函数 Mathieu 函数以及其它类 型的函数已经有了完整的专门论著1 1 特殊函数特殊函数 解波动方程的进展是与所谓稳态问题密切联系的 它导致简化的 波动方程 波动方程 就其形式本身来说 是包含时间变量的 在许 多物理问题中 如过人们感兴趣的是简单谐波就假设 1 王竹溪 郭敦仁著 特殊函数概论 科学出版社 北京 1965 该书已译成英文 由新加坡 世界科学出版公司出版 它集 惠塔克 瓦特森 的 现代分析 和 柯朗特 希尔伯特 的 数学物理方法 两部名著的长处于一身 既是一部优秀教本 又是科学家案头难得的参考书 作为一位理论物理学家 这本数学专著使王竹溪以他深厚的数学造诣而饮誉世界数学界 4 把它代入波动方程 就得到退化波动力程或称为 Helmholtz 方程 0 表示所有的调和的 声学的 弹性的 电磁学的波 正当人们满足于 寻找特殊积分的时候 1860年 Hermann von Helmholtz 1821 1894 在论一端开放的管道 风琴管 空气振动的著作中 给出了关于这个 方程的解的第一个普遍的研究 他关注传音的问题 其中 是一个作 简谐振动的气体的速度势 是由空气弹性和振动频率确定的常数 与波长 的关系是 2 但是他运用 Green 定理 研究的是积分 形式 显然他涉及了圆柱位形的偏微分方程求解问题 对于另一个典 型的发展方程 热传导方程来说 如果设 代入 也得到 Helmholtz 方程 因此 当把时间 空间分离时 总要与 Helmholtz 方程打交道 不但如此 Poisson 方程 Helmholtz 方程的一个特例 然而 对于不同 的空间位形 如何表示空间的微分算子 是一个并不简单的问题 因 此 Helmholtz 方程在科学计算中具有特殊的意义 1 1 曲线坐标曲线坐标 关注热方程的数学家兼工程师 Gabriel Lame 1796 1870 引入了 一个主要的技巧 即使用曲线坐标系 可用于许多类型的方程 1833 5 年 Lame 指出 热方程仅对那些在直角坐标系中与坐标平面相垂直 平面的导体是解出来 引入新的坐标系和相应的坐标面 此前 Euler 和 Laplace 已使用了球坐标 知道了从直角坐标变换到球坐标的方法 新坐标系和坐标曲面的价值是双重的 一方面 在直角坐标系中 一个偏微分方程可能不能分离成这坐标系中的常微分方程但在另一 坐标系中可能是可分离的 另一方面 物理问题可能需要一个曲面边 界条件 比如说椭球上的边界条件 这样的边界在有一族以椭球组成 坐标面的坐标系中可以简单地表示出来 而在直角坐标系中必须用比 较复杂的方程 此外 在所采用的适当的坐标系中经变量分离后 这 个边界条件变成恰好可应用于所得常微分方程中的一个方程 Lame 使用曲线坐标的想法 还只是描述了这一工作的开端 他 和别人用相互正交的坐标系所完成的事有如此深刻的印象 以致认为 所有的偏微分方程都能通过寻找适当的坐标系求解 后来他认识到这 是一个错误 1859年他出版了一本论整个课题的书 曲线坐标讲义 许多其它的坐标系已经导入用变量分离法引出的常微分方程 求解时 得到的相应的各种特殊函数也已研究过 特殊函数的这个理论的大部 分 是由物理学者在具体问题中 当他们需要这些函数及其性质时所 创立的 如果空间中的点位置由三个有序的数 来表示 且每 三个这样有序的数就完全确定一个空间的点 反之 若空间中每一点 都对应着三个这样有序的数 则称 为空间的曲线坐标 由于空间点又可用熟悉的直角坐标 来表示 所以 6 都是直角坐标的单值函数 写成 反之 直角坐标 也是 的单值函数 记为 下面三个方程 分别表示 的三个等值面 又称为坐标曲面 由于 是单值函数 所以空间中的各点 只有一组坐标曲面通 过 每两个坐标曲面相交的曲线称为坐标曲线 例如 在 与 两个坐标曲面相交的坐 标曲线上 分别取 和 值 只有 值可以改变 该条坐标曲 线称为坐标曲线 与此类推 同样可作出坐标曲线 7 过空间任意点 有三条坐标曲线 在其 切线方向上取一组单位矢量 购成右手坐标系 如果 是互相正交的 则称这组坐标系是正交曲线坐标系 在正 交曲线坐标中 点的矢量 可表示为 在坐标曲线 上的曲线弧元长度为 其中 与此类推 一般地有 1 2 3 和度规系数 1 2 3 任意一个标量函数 的梯度为 grad 而 8 1 因此 1 任意一个矢量函数 的散度定义为 lim 1 取六面体 体积为 在坐标 方向 位于 和 处的坐标面通量为 与此类推 得到矢量 的总通量 1 综上所述 对任一个标量函数 而言 1 9 对于球坐标系 1 sin 1 1 sin sin 1 sin 对于柱坐标系 1 1 则 1 1 1 2 二阶常微分方程的级数解二阶常微分方程的级数解 为了求解应用变量分离法于偏微分方程后所得的常微分方程 19 世纪的数学家没有忧虑解的存在和解应具有的形式 而是转向 18 世 纪就已成熟的无穷级数的方法 特殊函数作为常微分方程的级数解而 10 出现 考虑齐次二阶常微分方程 0 的解所确定的特殊函数 这里函数 和 称为方程的系数 若 和 都在 点及其邻域内解析 或者说可以做 Taylor 展开 就称点 为方程的常点常点 若 和 中有一个在 点及其邻域内不解析 就称为奇 点 奇 点 方程的奇点分为三类 1 当 时 有限值 奇点 是可去奇 点 可去奇 点 2 当 时 中至少有一个趋于无穷 称为极 点 极 点 幂级数展开包含有限个负幂次项 其 中 0 称 为 和 以 为 极 点 的 阶 数 当 1 2 称为正则极点 显然 对于正则极点 函数 和 都是解析的 可以 Taylor 展开 3 非正则奇点 本性奇点 当 时 都无极 11 限 方程的区域有时为无穷区域 可能有 方程的无穷远点 至于 是常点还是奇点 若是奇点 究竟是正则奇点还是非正则 奇点 可以作变量替换 微分方程变换为 0 其中 2 2 1 1 1 把考察 点的性质 变换为考察点 0处 的 解析性质 例例 1 Legendre 方程 1 2 0 方程系数 2 1 1 显然 0是常点 而 1 是三个正则奇点 例例 2 Bessel 方程 0 其中 常数 0 方程系数 1 1 显然 0是正则奇点 而 是非正则奇点 12 大量的分析表明 方程的解在 点附近此性质完全依赖于方程系 数 在该点附近的性质 即取立于 点是常点还是奇点 称 为 Forbennius Fuchs 定理 不失一般性若 是方程的常点 的幂级数展开在 上成立 则方程的解在 解析 可以表示为 Maclaurin 级数 代入方程 可以用 和 确定级数系数 从而找到方程的两个不同 的解 若 是微分方程的正则奇点 和 都的幂级数展开式在 上成立 则方程在 内 至少有一个解可以表示为 0 称为方程的正则解 称为指标 规定 0 指标方程 1 0 有解 相应微分方程的解为 若 线性无关 则通 解为 若 线性相关 则先取定 然后按 Liouville 公式确定 1 exp 即 13 log 对于具有三个正则奇点 的微分方程 称为 Fuchus 方 程 设奇点的指标分别为 则方程可 以写为 1 1 0 例例 3 超几何方程 1 1 0 三个正则奇点是 0 1 且 1 1 1 1 1 1 对应的正则奇点的指标为 0 1 0 引入 Riemann 符号 代表全部解 其中第一行为奇点 第二行和第三行为相应的指标 第 14 二行逗号后面的值自变量 用下列符号 表示正则奇点 邻域 指标为 的正则解 显然 任何一个 Fuchus 方程都可以化为一个超几何方程 一般公式为 通常按照微分方程的奇点的性质 将特殊函数分为三大类 超几何函数型超几何函数型 常有三个正则奇点 一般是 0 1 或 1 例如 Legendre 函数 连带 Legendre 函数 Tschbyscheff 函数等属于这种类型 这种函数型的微分方程以超几何方程为原型 即所有这类函数的微分方程都可以化为超几何方程求解 1764 年 Euler 在研究薄膜振动问题遇到了后来称为 Bessel 方程 得到了级数解 在 积分学原理 一书中 Euler 研究了超几何方程 1 1 0 Gauss 方程 并给出级数解 1 1 1 1 1 2 1 1812 年 Gauss 发表了关于超几何级数的一篇著名论文加以推 15 进 Gauss 认识到对于 的特殊值 这级数包括了几乎所有当 时已知的初等函数和许多 Bessel 函数 球函数等超越函数 除了证明 这些级数的一些性质外 建立了著名的关系式 1 合流超几何函数型合流超几何函数型 常有一个常点或正则奇点 一般是 0 另一个是非正则奇点 一般是 例如 Bessel 函数 Hermite 函数等都属于这种类型 这种函数型的微分方程以合流超几何方程为 原型 即所有这类特殊数数的微分方程都可以比为合流超几何方程求 解 在超几何方程中 令 得到 1 1 0 方程的奇点是0 都是正则奇点 令 得到合流超 几何方程 0 Kummer 方程 新方程只有两个奇点0 和 其中 奇点0是正则的 奇点 是原来两 个正则奇点 和 的合流 称为非正则奇点 合流超几何函数与超几 何函数的关系是 lim 椭球面函数型椭球面函数型 常有四个或四个以上的正则奇点 或者至少有二 个正则奇点和一个非正则奇点 例如 Lame 函数 旋转椭球波函数 Mathieu 函数等属于这种类型 椭球面函数型的微分方程 求解要困 16 难得多 1 3 超越函数超越函数 在超几何方程 1 1 0 正则奇点 0的邻域内的解为 0 由于 1 代入方程 得到 1 1 1 0 提取公因子 有 1 1 0 改写为 17 1 1 0 因而 1 0 而 0 因此得到指标方程 1 0 有解 0 1 对于指标 0 解为 0 系数递推公式为 1 0 1 2 0 和负整数 引入 Gauss 符号 1 1 1 由此得到 0 1 2 0 和负整数 取 1 第一个正则解为 0 和负整数 1