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2014年辽宁高考数学(文、理)16题的几种解法大连48中学-何兆强下面我们给出2014年辽宁高考数学(文、理)16题的几种解法,展现思维的全过程和不同方法技巧。(理)16. 对于,当非零实数a,b满足,且使最大时,的最小值为 .(文)16. 对于,当非零实数a,b满足,且使最大时,的最小值为 .题目(理)拿到手后,分析已知条件,关键是找到a、b之间的关系、a、c之间的关系,这样就可以把要求的的最小值问题看成关于的二次函数,进而利用配方法求解最小值。方法一:设置a、b关系法解:设,带入,得到,不妨将平方,再讲带入,可得:,由二次函数特点,显然当时,即时有最大值,此时说明.将带入知,再将、带入,整理可得,从而的最小值为-2.方法二:方程法解:可变形为,把此式看成关于b的一元二次方程,必有解。由根的判别式可得:,解得:,显然,讲其写成后带入中可得:,从而得到说明,将带入得,以下同方法一。方法三:数形结合法解:把二元二次方程(c为常数)看成某条曲线,把看成曲线上一点到直线距离的倍,由此问题可转化成曲线上一点到直线的最大距离问题。平移直线直至与曲线相切,基于这种想法,我们需要联系方程组,消去变量b,得到关于a的一元二次方程,令,即,而方程的唯一解是,即带入中可得,再由、可得,以下同方法一。方法四:柯西不等式法解:可变形为:,由柯西不等式知,即,当且仅当时取“=”,即,带入中,可得,以下同方法一。题目(文)拿到手后,分析已知条件,关键是利用均值不等式找到a、b之间的关系、a、c之间的关系,这样就可以把要求的的最小值问题看成关于的二次函数,进而利用配方法求解最小值。文科这道题目理科以上四种方法均适用,但不必如此麻烦,我们给出均值不等式方法,或者更加巧妙的轮换式。解:可写成,利用均值不等式,即,那么,即,当且仅当时取“=”,将带入可得.,从而的最小值为-1.
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