一平行线等分线段定理 1 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 名师点拨对平行线等分线段定理的理解 1 符号表示 已知a b c 直线m n分别与a b c交于点A B C和A B C 如果AB BC 那么A B B C 2 图形表示 在定理中 直线m n可以平行 也可以相交 且它们的交点可以在平行直线之外 也可以在平行直线之内 还可以在其中的某条直线上 因此图形可有以下几种情况 3 平行线等分线段定理的逆命题是 如果一组直线截另一组直线成相等的线段 那么这组直线平行 可以证明这一命题是错误的 如图 做一做1 如图 已知a b c 直线AB分别与a b c交于点A E B 直线CD分别与a b c交于点C E D 若AE EB 则 A AE CEB BE DEC CE DED CE DE解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案 答案 C 2 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 名师点拨对推论1的理解 1 符号表示 在 ABC中 D为AB的中点 过点D作DE BC 交AC于点E 则点E平分AC 2 图形表示 3 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 3 推论2经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 名师点拨对推论2的理解 1 符号表示 在梯形ABCD中 AD BC E为AB的中点 过点E作EF BC 交CD于点F 则点F平分CD 2 图形表示 3 梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 做一做2 如图 已知AD EF BC E是AB的中点 则DG H是的中点 F是的中点 解析 由平行线等分线段定理 推论1和2及AE EB可得答案 故填BG或BD AC CD 答案 BG或BDACCD 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 如果一组直线在两条直线上截得的线段相等 那么这组直线一定平行 2 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 3 三角形的三条中位线长度的和等于该三角形周长的一半 4 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底差的一半 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 当堂检测 作已知线段的等分点 例1 已知线段AB 求作线段AB的六等分点 并予以证明 分析 根据平行线等分线段定理 只要作射线AM 在AM上以任意取定的长度顺次截取6条相等线段 分别设为AA1 A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 A5A6 连接端点A6与点B 过其他端点作BA6的平行线 分别交AB于C D E F G 则线段AB就被这些平行线分成六等份了 探究一 探究二 探究三 当堂检测 解 1 任作射线AM 与AB不在同一直线上 2 在射线AM上顺次截取AA1 A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 A5A6 3 连接A6B 分别过点A1 A2 A3 A4 A5作A6B的平行线A1C A2D A3E A4F A5G 分别交AB于点C D E F G 则C D E F G就是所求作的线段AB的六等分点 如图 证明如下 因为A1C A2D A3E A4F A5G A6B 又AA1 A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 A5A6 所以由平行线等分线段定理可得AC CD DE EF FG GB 即C D E F G就是线段AB的六等分点 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟将已知线段AB分成n等份的步骤1 作射线AC 与AB不共线 2 在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1 D1D2 D2D3 Dn 1Dn 3 连接DnB 4 分别过点D1 D2 D3 Dn 2 Dn 1作DnB的平行线 分别交AB于点A1 A2 An 2 An 1 则点A1 A2 An 2 An 1将线段AB分成n等份 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练1已知线段AB 在线段AB上求作一点P 使AP AB 解 如图 作法步骤如下 1 过点A任作射线AM 与AB不共线 2 在AM上以任意长度顺次截取AE EF FG 3 连接GB 过E F分别作EP GB FQ GB 分别交AB于点P Q 则点P为所求的点 探究一 探究二 探究三 当堂检测 证明线段相等 例2 如图 在 ABC中 D是AB的中点 E是BC的三等分点 BE CE AE与CD交于点F 求证 DF FC 分析 过点D作DG AE交BC于G 利用平行线等分线段定理证明 证明 过点D作DG AE交BC于点G 在 ABE中 因为AD BD DG AE 所以BG GE 又因为E是BC的三等分点 所以BG GE EC 在 CDG中 因为GE CE DG EF 所以DF FC 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟证明线段相等的基本方法1 证明在同一条直线上的两条线段相等的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件 找准被一组平行线截得的线段 2 证明不在同一条直线上的两条线段相等 可以根据等腰三角形的两腰相等或者根据全等三角形的对应边相等来证明 3 在几何证明中添加辅助线的常见方法 1 在三角形中 利用角平分线可构造全等三角形或相似三角形 2 在三角形或梯形中 若已知一边或一腰的中点 则过中点可作平行于底边的辅助线 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练2如图 在 ABC中 AB AC AD是 BAC的平分线 DE AB 求证 AE EC DE 证明 因为AB AC AD是 ABC的角平分线 所以D为BC的中点 因为DE AB 所以由平行线等分线段定理的推论1知 E为AC的中点 于是AE EC 且DE AB 又因为AB AC 所以DE AC AE 故AE EC DE 探究一 探究二 探究三 当堂检测 求线段的长度 例3 如图 在平行四边形ABCD中 对角线AC BD相交于点O OE AB交BC于点E AD 6 求BE的长 分析 因为OE AB OA OC 根据平行线等分线段定理的推论1 得出E是BC的中点 解 因为四边形ABCD是平行四边形 所以OA OC BC AD 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟求线段的长度时 一般是根据平行线等分线段定理及其推论 找到相等的线段 或线段之间的倍数关系 结合已知线段的长度求出未知线段的长度 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练3如图 已知AB CD EF AF BE相交于点O 若AO OD DF BE 10cm 则OB的长为 解析 因为CD EF OD DF 所以C为OE的中点 因此OC CE 因为AB CD AO OD 所以O为BC的中点 故BO OC 答案 A 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1 下列用平行线等分线段的图形中 错误的是 解析 由平行线等分线段定理可知 C项错误 答案 C 探究一 探究二 探究三 当堂检测 2 如图 在梯形ABCD中 AD BC AD BC 10cm E为AB的中点 点F在DC上 且EF AD 则EF的长为 A 5cmB 10cmC 20cmD 不确定解析 由推论2知 EF是梯形ABCD的中位线 则EF AD BC 10 5 cm 答案 A 探究一 探究二 探究三 当堂检测 3 如图 若a b c 则下列结论错误的是 A 由AB BC 得FG GHB 由AB BC 得OB OGC 由CE 2CD 得CA 2BCD 由GH FH 得CD DE解析 由于OB OG不是一条直线被一组平行线截得的线段 因此不一定有OB OG 即B项错误 答案 B 探究一 探究二 探究三 当堂检测 4 如图 已知a b c 直线m n分别与直线a b c交于点A B C和点A B C 若AB BC 1 A B 3 则B C 解析 由平行线等分线段定理可知A B B C 因为A B 3 所以B C 3 答案 3 探究一 探究二 探究三 当堂检测 5 如图 在平行四边形ABCD中 设E和F分别是边BC和AD的中点 BF和DE分别交AC于P Q两点 求证 AP PQ QC 证明 因为四边形ABCD是平行四边形 E F分别是BC AD边的中点 所以DF BE 且DF BE 所以四边形BEDF是平行四边形 因为在 ADQ中 F是AD的中点 FP DQ 所以P是AQ的中点 所以AP PQ 因为在 CPB中 E是BC的中点 EQ BP 所以Q是CP的中点 所以CQ PQ 故AP PQ QC