拔高专题 抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得ABC、BEC、CBD为等腰三角形。二、拔高精讲精练探究点一：因动点产生的平行四边形的问题例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a0），将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=x2+x4；（2）M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的坐标为：（m，m2+m4），S=SAOM+SOBM-SAOB=4（-m2-m+4）+4（-m）-44=-m2-2m+8-2m-8=-m2-4m=-（m+2）2+4，-4m0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4答：m=-2时S有最大值S=4（3）设P（x，x2+x-4）当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQ=OB，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-22x=0不合题意，舍去如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2 ，2+2 ）或（4，-4）【变式训练】（2015贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（-2，0），B两点（1）a 0，b2-4ac 0（填“”或“”）；（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）a0，b2-4ac0；（2）直线x=2是对称轴，A（-2，0），B（6，0），点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=，b=-，c=-4，抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；（3）存在，理由为：（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CEx轴，交抛物线于点E，过点E作EFAC，交x轴于点F，如图1所示，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，抛物线y=x2-x-4关于直线x=2对称，由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，又OC=4，E的纵坐标为-4，存在点E（4，-4）；（ii）假设在抛物线上还存在点E，使得以A，C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E作EFAC交x轴于点F，则四边形ACFE即为满足条件的平行四边形，AC=EF，ACEF，如图2，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG，又COA=EGF=90，AC=EF，CAOEFG，EG=CO=4，点E的纵坐标是4，4=x2-x-4，解得：x1=2+2，x2=2-2，点E的坐标为（2+2，4），同理可得点E的坐标为（2-2，4）。【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题例2: （2015铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=-4，c=3，二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=32，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PC-OC=3-3P1（0，3+3），P2（0，3-3）；当PB=PC时，OP=OB=3， P3（0，-3）；当BP=BC时，OC=OB=3，此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3-3）或（0，-3）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，SMNB=（2-t）2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时MNB面积最大，最大面积是1。【变式训练】（2015黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2）由图象写出满足y1y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0解得c=3，二次函数y1的解析式为y=-x2+x+3，B点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x0或x4，x0或x4时，y1y2；（3）直线AB的解析式为y=-x+3，AB的中点为（2，），AB的垂直平分线为y=x-，当x=0时，y=-，P1（0，-），当y=0时，x=，P2（，0），综上所述：P1（0，-），P2（，0），使得ABP是以AB为底边的等腰三角形。【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.