1 2 2组合 1 正确理解组合的意义 并能正确区分排列与组合 2 掌握组合数的计算公式 组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系 并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题 3 合理进行分类 分步 综合应用排列组合知识解决实际问题 1 2 3 1 组合的相关概念 1 定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素合成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2 相同组合 只要两个组合的元素完全相同 不论元素的顺序如何 都是相同组合 名师点拨1 组合的定义包含两个基本内容 一是 取出元素 二是 合成一组 合成一组 表示与元素的顺序无关 2 组合与排列的异同 组合与排列都是 从n个元素中任意取出m m n 个元素 不同的是 组合要求元素 不管元素的顺序合成一组 而排列要求元素 按照一定的顺序排成一列 因此区分某一问题是组合问题还是排列问题 关键是看取出的元素有无顺序 1 2 3 做一做1 下列问题 从a b c d四名学生中选出2名学生 有多少种不同的选法 从a b c d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作 有多少种不同的选法 a b c d四支足球队之间进行单循环比赛 共需赛多少场 a b c d四支足球队争夺冠亚军 有多少种不同的结果 其中是组合问题的有 是排列问题的有 填序号 解析 无顺序 是组合问题 2名学生完成两件不同的工作是排列问题 单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛 没有顺序 是组合问题 争夺冠亚军是有顺序的 是排列问题 答案 1 2 3 1 2 3 名师点拨1 组合与组合数是两个不同概念 如从3个不同元素a b c中取出2个元素的组合为ab bc ac 其中每一种叫做一个组合 即组合不是数 是完成一件事的一种方法 而该问题的组合数是3 2 组合数公式推导的思路是依据分步乘法计数原理 遵循从特殊到一般的原则 将求从4个不同元素中任取3个的排列数分成先 求组合数 后求 全排列数 两步来完成 这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系 从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式 1 2 3 做一做2 从9名学生中选出3名参加 希望英语 口语比赛 不同选法的种数为 A 504B 729C 84D 27答案 C 1 2 3 1 2 3 答案 1 190 2 161700 对组合的定义理解要注意哪些问题剖析 1 如果两个组合中的元素完全相同 那么不管它们的顺序如何都是相同的组合 当两个组合中的元素不完全相同 即使只有一个元素不同 就是不同的组合 例如 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个 它们分别是ab ac bc ba ab是相同的组合 而ab ac是不同的组合 2 区分某一问题是排列问题还是组合问题 关键看选出的元素是否与顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是排列问题 而交换任意两个元素的位置对结果没有影响 则是组合问题 例如 在数的运算当中 加法运算和乘法运算就是组合问题 除法运算则是排列问题 寄信 是排列问题 握手 是组合问题等 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 判断下列问题是排列问题 还是组合问题 1 从1 2 3 9这9个数字中任取3个 组成一个三位数 这样的三位数共有多少个 2 从1 2 3 9这9个数字中任取3个 然后把这3个数字相加得到一个和 这样的和共有多少个 3 从a b c d这4名学生中选2名学生 去完成同一件工作有多少种不同的选法 4 规定每两人相互通话一次 5人共通了多少次电话 5 5个人相互各写一封信 共写了多少封信 分析观察取出的元素与顺序有关还是无关 确定是排列问题 还是组合问题 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 取出3个数字后 如果改变3个数字的顺序 会得到不同的三位数 此问题不但与取出元素有关 而且与元素的安排顺序有关 是排列问题 2 取出3个数字之后 无论怎样改变这3个数字之间的顺序 其和均不变 此问题只与取出元素有关 而与元素的安排顺序无关 是组合问题 3 2名学生完成的是同一件工作 没有顺序 是组合问题 4 甲与乙通一次电话 也就是乙与甲通一次电话 无顺序区别 是组合问题 5 发信人与收信人是有区别的 是排列问题 题型一 题型二 题型三 题型四 反思区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果产生影响 则是排列问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响 则是组合问题 因此 排列问题与选取元素的顺序有关 组合问题与选取元素的顺序无关 由此可知 定序问题属于组合 即排列时 如果限定某些元素保持规定的顺序 那么定序的这n个元素属于组合问题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 1 从1 3 5 7中任取两个数相除 可以得到多少个不同的商 2 从1 3 5 7中任取两个数相乘 可以得到多少个不同的积 3 请指出问题 1 和问题 2 的不同之处 解 1 从1 3 5 7中任取两个数相除 因为取出的两个数若先后顺序不同 得到的商不同 所以不同的商的个数为 4 3 12 2 从1 3 5 7中任取两个数相乘 所得不同的积为1 3 3 1 5 5 1 7 7 3 5 15 3 7 21 5 7 35 共6个 3 问题 1 所求的解与取出元素的先后顺序有关 如取出元素1和3 则商为 3两个不同结果 是排列问题 问题 2 所求的解与取出元素的先后顺序无关 如取出1和3 相乘后得的积是3 与1 3的顺序无关 是组合问题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 答案 1 466 2 124 3 330 题型一 题型二 题型三 题型四 反思组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系 在计算具体的组合数时会经常用到 组合数公式的阶乘形式主要作用是对含有字母的组合数的式子变形或证明 组合数的性质1可以用来进行转化 减少计算量 组合数的性质2主要用于计算或化简多个组合数连加 此时往往需要先用性质1进行适当的转化 使得有两个组合数为下标相同 上标差1的形式 再反复运用性质2即可化成最简形式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 1 某组织从4名男运动员 6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员 不同的选法种数为 A 12B 30C 15D 24 2 从 1 中的4名男运动员 6名女运动员中选出3人参加某公益活动 则至多有2名男运动员的选法有种 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 1 第一步选男运动员有种选法 第二步选女运动员有答案 1 D 2 116 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解答有限制条件的组合问题的基本方法是 直接法 和 间接法 排除法 其中用直接法求解时 应坚持 特殊元素优先选取 的原则 即优先安排特殊元素 再安排其他元素 而选择间接法的原则是 正难则反 也就是若正面问题分类较多 较复杂或计算量较大 不妨从反面问题入手 看是否简捷些 特别是涉及 至多 至少 等组合问题时更是如此 此时正确理解 都不是 不都是 至多 至少 等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 车间有11名工人 其中5名男工是钳工 4名女工是车工 另外2名老师傅既能当车工又能当钳工 现在要在这11名工人中选派4名钳工 4名车工修理一台机床 则有多少种选派方法 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 曲解题意而致错 例4 有编号分别为1 2 3 4的4个盒子和4个小球 要求把小球全部放入盒子中 问 1 共有多少种放法 2 恰有1个空盒 有多少种放法 1 错解由已知 相当于对1 2 3 4全排列 故有种放法 错因分析没有理解题意 这里的任务是把小球放入盒中即可 并没有要求每盒中放1个小球 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析错解属于重复计数问题 若取出的3个小球为1号 2号 3号 则4号小球放入盒中时 其中一种方式为1 423 若取出的3个小球为2号 3号 4号 则1号小球放入盒中时 其中也有一种方式为231 4 故出现重复计数 题型一 题型二 题型三 题型四 1 正解1号小球可放入任意1个盒子中 有4种放法 同理 2号 3号 4号小球也各有4种放法 故共有44 256种放法 反思解第 2 题时先把小球分成3组 再排就不容易出错 这也是解决排列 组合综合题的方法 即先选后排